دالة أسية

  ميّز عن رفع (رياضيات).

دالة أسية
تمثيل الدوال الأسية في جملة الإحداثيات الديكارتيّة، فاللون الأسود ذو الأساس (e)، واللون الأحمر ذو الأساس 10، واللون الأزرق ذو الأساس 1/2، نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (0، 1). تمثيل الدوال الأسية في جملة الإحداثيات الديكارتيّة، فاللون الأسود ذو الأساس (e)، واللون الأحمر ذو الأساس 10، واللون الأزرق ذو الأساس 1/2، نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (0، 1).
تدوين	$a^x$ أو ${\exp }_a(x)$
دالة عكسية	${\log }_a(x)$
مشتق الدالة	$\ln (a)a^x$
مشتق عكسي (تكامل)	$\frac{a^x}{\ln (a)}+C$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	$\mathbb{ℝ}$
المجال المقابل	${\mathbb{ℝ}}_{+}^{*}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
نهاية الدالة عند +∞	$+\mathrm{\infty }$ إذا كان $a>1$ $0$ إذا كان $a<1$
نهاية الدالة عند -∞	$0$ إذا كان $a>1$ $+\mathrm{\infty }$ إذا كان $a<1$
القيمة/النهاية عند 1	$a$
خطوط مقاربة	$y=0$

الدالة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Function)‏ هي كل دالة تُكتب على الشكل $f(x)=a^x$ حيث $x\in \mathbb{ℝ}$ و $a$ عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان $0<a<1$ فإن الدالة $a^x$ تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان $a>1$ فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.

دوال أسية أخرى

$f(x)=a^x+b^{2}x$ أو: $f(x)=a^x+5.M^x-3$ أو: $f(x)=a^x+e^x$

مثال آخر للدالة الأسية:

y = ل مرفوعة للقوة x ، وتكتب رياضيا كالآتي:

y = ل^x

حيث ل> صفر.

أي أن الدالة الأسية بصفة عامة:

X = yⁿ

تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا $e^n$ حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة $e^n$ لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.

خواص الأسس

مشتق الدالة الأسية $e^n$ مساو لقيمة الدالة. لكل نقطة من المنحنى (الأزرق)، إذا رسم الخط المماس (الأحمر) والخط العمودي (الأخضر) كما هو مبين، فستكون للمثلث الذي يحددانه مع المحور الأفقي قاعدة طولها 1 (الأخضر). فيكون انحدار الخط المماس (المشتق) في النقطة مساويا لارتفاع المثلث (قيمة الدالة).

التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية:

a⁰ = 1

a¹ = a

الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول $a^x$ إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:

$\log (a^x)=x\log (a)$

حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.

يمكن تحويل الدالة الأسية $a^x$ إلى أي أساس آخر $b$ :

$a^x=b^{x\cdot {\log }_b(a)}$

وتنطبق القوانين التالية عليها:

$a^0=1$...و... $a^1=a$

$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$

$a^{x\cdot y}=(a^x{)}^y$

$a^{-x}=\frac{1}{a^x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$

$a^x\cdot b^x=(a\cdot b{)}^x$

وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة $a$ و$b$ وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة $x$.

من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي $e^x$ واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز ln ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:

$f^{\prime }=f$

$f(0)=1$

أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

الدالة الأسية للثابت الطبيعي e

الدالة الأسية الطبيعية
الدالة الأسية الطبيعية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة x الصفر. الدالة الأسية الطبيعية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة x الصفر.
تدوين	$e^x$ أو $\exp (x)$
دالة عكسية	$\ln (x)$
مشتق الدالة	$e^x$
مشتق عكسي (تكامل)	$e^x+C$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	$\mathbb{ℝ}$
المجال المقابل	${\mathbb{ℝ}}_{+}^{*}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
نهاية الدالة عند +∞	$+\mathrm{\infty }$
نهاية الدالة عند -∞	$0$
القيمة/النهاية عند 1	e
خطوط مقاربة	$y=0$

هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).

وتكتب باللغة الإنجليزية:

(x = exp(n

حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل:

x = eⁿ

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

$\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y)$

$a^x:=\exp (x\cdot \ln a)$

$a^x:=e^{x\cdot \ln a}$

وذلك لجميع $a>0$ وجميع $x$ الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

تزايد جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = eⁿ حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e^-t.c.

• ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n = t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
• يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e

يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

أقل شيوعا يمكن تعريف e^x كحل للمعادلة التالية:

$x=\underset{1}{\overset{y}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t}.$

هي أيضا تساوي النهاية التالية:

$e^x=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{(1+\frac{x}{n})}^n.$

مشتقة الدالة الأسية للأساس e

تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\exp (x)=\exp (x)$

وعندما نختار لها الشرط:

$\exp (0)=1$

تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون $a>0$ ينتج:

$a^x=\exp (x\cdot \ln a)$

حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{a}^{b\cdot x}=b\ln a\cdot a^{b\cdot x}$

وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد e في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.

المعادلة التفاضلية من النوع $\frac{dy}{dx}=ay+b$ حيث a و b عددان حقيقيان

دالة أسية للأساس e: ثلاثة منحنيات للتحلل الإشعاعي لثلاثة مواد لها عمر النصف مختلف.

إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث $y(x)=\lambda e^{ax}-\frac{b}{a}$ حيث $\lambda$ ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

مثال:

قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$

وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).

وتعتمد:$\lambda$ على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.

المجاميع أسية

ليكن $a$ عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث $a>1$

المجموع الأول

$\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i=a^0+a^1+a^2+\dots +a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}$

نهاية هذا المجموع:$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n{a}^i=+\mathrm{\infty }$

المجموع الثاني

$\sum _{i=0}^n\frac{1}{a^i}=\frac{1-a^{n+1}}{a^n-a^{n+1}}=\frac{a^{-n}-a}{1-a}$

نهاية هذا المجموع:$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n\frac{1}{a^i}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-i}=\frac{a}{a-1}$

أمثلة

مثال للدالة الأسية بصفة عامة

تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:

N = 2³

N = 8

فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:

N = 2⁶

N = 64

أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e

التزايد السكاني:

يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

نكتب المعادلة الآتي:

N = 4. e^0,025.6

أو:

(N = 4. Exp(0,025.6

والنتيجة:

مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات.

مثال 3 :

تكوّن النجوم: تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.

N = 1. e^0,002.170

N = 1. e^0,34

باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.

مثال 4:

تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:

$\rho ={\rho }_b\cdot \exp \left[\frac{-g_0\cdot M\cdot (h-h_b)}{R^{*}\cdot T_b}\right]$

حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض $(h_b)$.

(أنظر تغير الضغط بالارتفاع)

اقرأ أيضاً

• الدوال الإبتدائية
• تغير الضغط بالارتفاع
• توزيع بولتزمان
• احصاء ماكسويل-بولتزمان
• تجانس
• اختبار الوحدات