دالة مقعرة

الدالة المقعرة (بالإنجليزية: Concave Function)‏ هي دالة منحنية ذات قمة في الاتجاه الرأسي، مفتوحة نحو الأسفل. تسمى أحيانا مقعرة قبعيّة حيث تشبه القبعة، أو تشبه الجرس. وهي عكس الدالة المحدبة في شكل منحناها.

تعريف

دالة مقعرة

إذا كانت الدالة f ذات قيم حقيقية في حيز معين فهي تسمى دالة مقعرة إذا كانت لكل قيمة من x وy في الحيز ولكل t في [0,1],

$f(tx+(1-t)y)\ge tf(x)+(1-t)f(y).$

وتسمى دالة «دالة مقعرة دقيقة» strictly concave إذا كان :

$f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)$

لأي t في (0,1) وx ≠ y.

وبالنسبة إلى دالة f:R→R، فهي تعبر عن أن لكل نقطة z بين x و y، فتكون ((z, f(z) على منحني f فوق الخط المستقيم الواصل بين ((x, f(x) و((y, f(y) .

أمثلة

• الدالة $f(x)=-x^2$ ......، والدالة $f(x)=\sqrt{x}$ هما دالتان مقعرتان ، حيث أن المشتقة التفاضلية الثانية سالبة دائما.
• أي دالة خطية $f(x)=ax+b$ تعتبر دالة مقعرة ودالة محدبة في نفس الوقت،
• الدالة $f(x)=\sin (x)$ تكون مقعرة في الحيز $[0,\pi ]$.
• $\log \left|B\right|$، حيث $\left|B\right|$ محدد مصفوفة حقيقية غير سالبة B،تكون دالة مقعرة .
• من الأمثلة العملية : انحناء الأشعة في حساب الموجات الراديوية في الغلاف الجوي.

انظر أيضا

• دالة محدبة