بفافي مصفوفة

في الرياضيات، محدد مصفوفة متماثلة منحرفة يكتب دائما على شكل مربع لمتعددة حدود حدودها مداخل للمصفوفة A. متعددة الحدود هذه، هي ما يسمى ببفافي المصفوفة A (بالإنجليزية: Pfaffian)‏.

سمي هذا المفهوم هكذا نسبة إلى يوهان فريدريش بفاف.

أمثلة

$A=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right].\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}=a.$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right].\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{B}\mathrm{)}=0.$

(3 is odd, so Pfaffian of B is 0)

$\mathrm{p}\mathrm{f}\left[\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right]=af-be+dc.$

The Pfaffian of a 2n × 2n skew-symmetric tridiagonal matrix is given as

$\mathrm{p}\mathrm{f}\left[\begin{array}{cc}0& a_1\\ -a_1& 0& b_1\\ 0& -b_1& 0& a_2\\ 0& 0& -a_2& \ddots & \ddots \\ & & & \ddots & & b_{n-1}\\ & & & & -b_{n-1}& 0& a_n\\ & & & & & -a_n& 0\end{array}\right]=a_1{a}_2\cdots a_n.$

which contains the important case of a 2n × 2n skew-symmetric matrix with 2 × 2 blocks on the diagonal:

$\mathrm{p}\mathrm{f}\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}0& {\lambda }_1\\ -{\lambda }_1& 0\end{array}& 0& \cdots & 0\\ 0& \begin{array}{cc}0& {\lambda }_2\\ -{\lambda }_2& 0\end{array}& & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \begin{array}{cc}0& {\lambda }_n\\ -{\lambda }_n& 0\end{array}\end{array}\right]={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n.$

(Note that any skew-symmetric matrix can be reduced to this form, see Spectral theory of a skew-symmetric matrix)

انظر أيضا

• محدد (مصفوفات)