البرهان على أن e عدد غير كسري

في الرياضيات، التمثيل بمتسلسلة لعدد أويلر e يأتي كما يلي:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

اكتشف هذا العددَ عالمُ الرياضيات السويسري ياكوب برنولي في عام 1683. خمسون سنة بعد ذلك، برهن أويلر، والذي كان تلميذا لأخ ياكوب الأصغر يوهان برنولي، على أن e عدد غير جذري، أي أنه لا يمكن يكتب على شكل نسبةً بين عددين صحيحين.

برهان أويلر

كتب أويلر أول برهان على لا كسرية العدد e في عام 1737، ولكن النص لم ينشر إلا سبع سنوات بعد ذلك. كتب من أجل ذلك e كسرا مستمرا بسيطا.

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots ,2n,1,1,\dots ].$

برهان فورييه

البرهان الأكثر شهرة على لا كسرية العدد e هو البرهان الذي جاء به جوزيف فورييه. هو برهان بالخُلف، يعتمد على المتساوية التالية:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\cdot$

$2=1+\frac{1}{1!}<e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots <1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots )=3.$

$x=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}).$

$x=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}.$

انظر أيضا

• عدد متسام بما في ذلك البرهان على أن e عدد متسام
• مبرهنة ليندمان-ويرستراس