دالة موبيوس

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

دالة موبيوس (بالإنجليزية: Möbius function)‏ الكلاسيكية هي دالة جداءية مهمة في نظرية الأعداد وفي التوافقيات.[1] سُميت هذه الدالة هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني أوغست فيرديناند موبيوس.أنشأها موبيوس عام 1832.

تعريف

تعرف دالة موبيوس (μ(n لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية n و تأخذ قيمة تنتمي إلى المجموعة {1، 0، 1-}, بدلالة تعميل n إلى جداء أعداد أولية و تعرف كما يلي :

  • μ(n) = 1 : إ ذا لم يحتو n على أي مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية و كان عدد هؤلاء الأعداد زوجيا.
  • μ(n) = -1 : إ ذا لم يحتو n على أي مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية و كان عدد هؤلاء الأعداد فرديا.
  • μ(n) = 0 : إ ذا احتوى n على مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية, أو بتعبير آخر، إذا قبل n القسمة على مربع عدد أولي ما.

يبين الشكل التالي قيمة دالة موبيوس للأعداد الأصغر أو تساوي خمسين :

لخمسون قيمة الأولى للدالة
لخمسون قيمة الأولى للدالة

خصائص وتطبيقات

خصائص

دالة موبيوس هي دالة جداءية. أي أن (μ(ab) = μ(a) μ(b كلما كان العددان a و b أوليين فيما بينهما.

d|nμ(d)={1 if n=10 if n>1.

انظر إلى صيغة القلب لموبيوس.

دالة ميرتنز

النظر إلى هاته الدالة يؤدي حتما إلى النظر إلى دالة ميرتنز المعرفة كما يلي:

M(n)=k=1nμ(k)

تطبيقات

المتسلسلات الرياضية

متسلسلة دركليه التي تولد دالة موبيوس هي المقلوب الجدائي لدالة زيتا لريمان. إذا كان s عددا مركبا جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الواحد، فإن:

n=1μ(n)ns=1ζ(s).

يظهر هذا جليا من خلال جداء أويلر.

1ζ(s)=p(11ps)=(112s)(113s)(115s).

تعميمات

الفيزياء

انظر أيضا

مراجع

  1. ^ Bost، J.-B.؛ Connes، Alain (1995). "Hecke Algebras, Type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory". Selecta Math. (New Series). ج. 1: 411–457.