معادلات كوشي-ريمان

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations)‏ في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان.[1][2][3] تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية

معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:

ux=vy

و

uy=vx

عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد z=x+iy,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

افترض ان u وv دوال قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من , والتي ممكن اعتبارها دالة من 𝟚 إلى ، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).

إذا كانت الدالة f=u+iv قابلة للاشتقاق عند النقطة z0=x0+iy0، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة (x0,y0) وتحقق معادلات كوشي -ريمان.

مثال

افترض أن الدالة f(z)=z2 ، حيث z=x+iy، هي دالة قابلة للاشتقاق عند أي نقطة z

f(z)=(x+iy)2=x2y2+2ixy

فيكون الجزء الحقيقي هو: u(x,y) حيث u(x,y)=x2y2

والجزء التخيلي هو: v(x,y) حيث v(x,y)=2xy

ومشتقاتهم الجزئية هي:

vy=2x
vx=2y
uy=2y.
ux=2x.

ويلاحظ تحقق شروط معادلات كوشي-ريمان:

ux=vy.
uy=vx.

مراجع

  1. ^ "معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
  2. ^ "معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع catalogue.bnf.fr". catalogue.bnf.fr. مؤرشف من الأصل في 2019-07-20.
  3. ^ "معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع idref.fr". idref.fr. مؤرشف من الأصل في 2019-07-24.