صيغة براهماغوبتا

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الهندسة الرياضية، تقوم معادلة براهماغوبتا بإيجاد مساحة أي رباعي أضلاع بواسطة طول أضلاعه وقياس بعض زواياه.[1]

بشكلها الأكثر شيوعاً تقوم المعادلة بحساب معادلة رباعي الأضلاع المحصور ضمن دائرة (رباعي دائري).

الصيغة البسيطة

أبسط صيغة لصيغة براهماغوبتا هي الصيغة التي تعطى في الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعهa, b, c, d على الشكل التالي:

(sa)(sb)(sc)(sd)

حيث s تعطى بالعلاقة: s=a+b+c+d2.

وهي تعميم لمعادلة هيرون لحساب مساحة المثلث.

البرهان

لتكن S هي مساحة الرباعي جانبه. S هي مجموع مساحتي المثلثين (ADB) و (BDC) إذن

S=12absinA+12cdsinC

بما أن (ABCD) رباعي دائري فإن DAB = 180° − ∠DCB و منه فإن sin A = sin C، و منه: S=12sinA(ab+cd).

إذن 4S2=(ab+cd)2cos2A(ab+cd)2

بتطبيق قانون جيب التمام نستنتج أن:

a2+b22abcosA=c2+d22cdcosC

نعوض cos C = −cos A، لدينا 2cosA(ab+cd)=a2+b2c2d2

نعوض في متساوية المساحة،

16S2=4(ab+cd)2(a2+b2c2d2)2

=(2(ab+cd)+a2+b2c2d2)(2(ab+cd)a2b2+c2+d2)
=((a+b)2(cd)2)((c+d)2(ab)2)
=(a+b+cd)(a+bc+d)(ab+c+d)(a+b+c+d).

نأخذ s=a+b+c+d2، فنجد

16S2=16(sa)(sb)(sc)(sd)

.S=(sa)(sb)(sc)(sd)

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ Maley، F. Miller؛ Robbins، David P.؛ Roskies، Julie (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons" (PDF). Advances in Applied Mathematics. ج. 34 ع. 4: 669–689. DOI:10.1016/j.aam.2004.09.008. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-01-10.

وصلات خارجية

إيريك ويستاين، معادلة براهماغوبا، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).