دوال ثيتا لنيفيل

في الرياضيات، دوال ثيتا لنيفيل (بالإنجليزية: Neville theta functions)‏ التي سميت باسم ، معرفة على النحو التالي:

${\theta }_c(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }q(m{)}^{1/4}}{m^{1/4}\sqrt{K(m)}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(q(m){)}^{k(k+1)}\cos \left(\frac{(2k+1)\pi z}{2K(m)}\right)$

${\theta }_d(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }}{2\sqrt{K(m)}}(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(q(m){)}^{k^2}\cos \left(\frac{\pi zk}{K(m)}\right))$

${\theta }_n(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }}{2(1-m{)}^{1/4}\sqrt{K(m)}}(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(q(m){)}^{k^2}\cos \left(\frac{\pi zk}{K(m)}\right))$

${\theta }_s(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }q(m{)}^{1/4}}{m^{1/4}(1-m{)}^{1/4}\sqrt{K(m)}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(q(m){)}^{k(k+1)}\sin \left(\frac{(2k+1)\pi z}{2K(m)}\right)$

$K(m)$ هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول، $K^{\prime }(m)=K(1-m)$ و $q(m)=e^{-\pi K^{\prime }(m)/K(m)}$ هو النُوم الإهليلجي.

العلاقة بدوال أخرى

يمكن التعبير عن دوال ثيتا لنيفيل بدلالة دوال ثيتا لجاكوبي

${\theta }_s(z|\tau )={\theta }_{23}(0|\tau ){\theta }_1(z^{\prime }|\tau )/\theta {\text{'}}_1(0|\tau )$

${\theta }_c(z|\tau )={\theta }_2(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_2(0|\tau )$

${\theta }_n(z|\tau )={\theta }_4(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_4(0|\tau )$

${\theta }_d(z|\tau )={\theta }_3(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_3(0|\tau )$

حيث $z^{\prime }=z/{\theta }_3(0|\tau {)}^2$ .

ترتبط دوال ثيتا لنيفيل بدوال جاكوبي الإهليلجية . إذا كانت $\mathrm{p}\mathrm{q}(u,m)$ هي دالة جاكوبي الإهليلجية، فإن:

$\mathrm{p}\mathrm{q}(u,m)=\frac{{\theta }_p(u,m)}{{\theta }_q(u,m)}$

أمثلة

نعوض z = 2.5, m = 0.3 في التعريفات المذكورة أعلاه لدوال ثيتا لنيفيل (باستخدام برنامج ميبل) بمجرد الحصول على ما يلي (بما يتفق مع نتائج ماثورلد ولفرام).

• ${\theta }_c(2.5,0.3)=-0.65900466676738154967$
• ${\theta }_d(2.5,0.3)=0.95182196661267561994$
• ${\theta }_n(2.5,0.3)=1.0526693354651613637$
• ${\theta }_s(2.5,0.3)=0.82086879524530400536$

تناظر

• ${\theta }_c(z,m)={\theta }_c(-z,m)$
• ${\theta }_d(z,m)={\theta }_d(-z,m)$
• ${\theta }_n(z,m)={\theta }_n(-z,m)$
• ${\theta }_s(z,m)=-{\theta }_s(-z,m)$

تمثيلات بيانية عقدية ثلاثية الأبعاد