دالة الكثافة الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات، دالة كثافة الاحتمال أو دالة الكثافة الاحتمالية (د. ك.ا) (بالإنجليزية: probability density function)‏ أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx=1$

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي $X$ دالة كثافة احتمالية $f\left(X\right)$، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

$P[a\le X\le b]=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير $X$ قيمًا في الفترة $[a,b]$ مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت $F$ هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير $X$، يتحقق:

$,F\left(x\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f\left(u\right)du$

وكذلك، فإنّ:

$f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة $f(x)$، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي $[x,x+dx]$ هو $f\left(x\right)dx$.

دوال كثافة احتمالية مهمة

• التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة $[a,b]$ إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة $[a,b]$ مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة $[a,b]$، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة $[a,b]$، أي:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{b-a}a\le x\le b\\ 0x<a,x>b\end{array}$

• بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ-$\mu$ والتباين مساويًا لـ-${\sigma }^2$ تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$

استعمالات

• حساب القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

$E\left[X\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf\left(x\right)dx$

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

انظر أيضًا

• لائحة التوزيعات الاحتمالية
• دالة توزيع تراكمي
• دالة الإمكان