تحويلات الجيب وجيب التمام

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، تحويلات فورييه الجيب وجيب التمام هي شكل من أشكال تحويل فورييه التي لا تستخدم الأعداد المركبة. تمت صياغتها للمرة الأولى من قبل جوزيف فورييه وما تزال مفضلة في الكثير من التطبيقات كمعالجة الإشارة والإحصاء.

تعريف

إن تحويل الجيب لفورييه لـ f (t)، يرمز له بـ f^s أو s(f) ويعرَّف بـ:

f(t)sin(2πνt)dt.

إذا كانت t تدل على الزمن، فإن ν تدل على التردد (بواحدة دورة في واحدة الزمن)، ولكن وبشكل مجرد يمكن أن يكونا أي زوج من المتحولات المرتبطة ببعضها.

يكون هذا التحويل تابعاً فردياً دائماً بالنسبة للتردد ν:

f^s(ν)=f^s(ν).

إن تحويل جيب التمام لفورييه لـ f (t)، يرمز له بـ f^c أو c(f) ويعرَّف بـ:

f(t)cos(2πνt)dt.

يكون هذا التحويل تابعاً زوجياً دائماً بالنسبة للتردد ν:

f^c(ν)=f^c(ν).

بعض الكتَّاب عرَّفوا تحويل جيب التمام للتوابع الزوجية بالنسبة لـ t فقط. في هذه الحالة يكون تحويل الجيب معدوماً. وتحويل جيب التمام زوجياً أيضاً ويعطى بالعلاقة المبسّطة التالية:

20f(t)cos(2πνt)dt.

وبشكل مشابه في حال كان f تابعاً فردياً، في هذه الحالة يكون تحويل جيب التمام معدوماً. وتحويل الجيب فردياً أيضاً ويعطى بالعلاقة المبسّطة التالية:

20f(t)sin(2πνt)dt.

تحويل فورييه العكسي

إن التابع الأصلي f يمكن أن تتم استعادته انطلاقاً من تحويلاته حسب الفرضية المعتادة، بحيث يجب أن يكون f وكلا تحويليه قابلين للتكامل بشكل مطلق. لمزيد من التفاصيل حول هذه الفرضيات يمكن رؤية نظرية تحويل فورييه العكسي.

إن علاقة التحويل العكسي هي [1]

f(t)=0f^ccos(2πνt)dν+0f^ssin(2πνt)dν,

العلاقة مع تحويل فورييه العقدي

إن صيغة تحويل فورييه المستخدمة كثيراً هي:

f^(ν)=f(t)e2πiνtdt=f(t)(cos(2πνt)isin(2πνt))dtEuler's Formula=(f(t)cos(2πνt)dt)i(f(t)sin(2πνt)dt)=f^c(ν)if^s(ν)

انظر أيضاً

المراجع

  1. ^ Poincaré، Henri (1895). Theorie analytique de la propagation de chaleur. Paris: G. Carré. ص. 108ff. مؤرشف من الأصل في 2017-08-07. {{استشهاد بكتاب}}: روابط خارجية في |الأخير= (مساعدة)
  • Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211