اللوغاريتم الطبيعي ل 2

يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين تقريبا القيمة التالية:

$\ln 2\approx 0.693147180559945309417232121458.$

يحصل على اللوغاريتم الطبيعي للعدد اثنين في قواعد أخرى باستعمال الصيغ التالية:

${\log }_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b}.$

خصوصا، اللوغاريتم عشري للعدد اثنين يساوي ما يلي:

${\log }_{10}2\approx 0.301029995663981195.$

بينما مقلوب هذا العدد، والذي يعرف باللوغاريتم الثنائي، فقيمته تساوي:

${\log }_{2}10=\frac{1}{{\log }_{10}2}\approx 3.321928095$ ( A020862).

التمثيل بالمتسلسلات

المتسلسلة المتناسقة المتناوبة

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots .$ تعرف هذه المتسلسلة باسم «المتسلسلة المتناسقة المتناوبة».

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)}.$

$\ln 2=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.$

$\ln 2=\frac{131}{192}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.$

$\ln 2=\frac{661}{960}+\frac{15}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$

تمثيلات على شكل بي بي بي

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}.$

التمثيل بالتكامل

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+x}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\tan xdx=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan xdx=\ln 2$

$-\frac{1}{\pi i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x\ln \ln x}{(x+1{)}^2}dx=\ln 2$