دالة غودرمانية

دالة غودرمانية
	التمثيل البياني للدالة الغودرمانية التمثيل البياني للدالة الغودرمانية
تدوين	gdx
تعريف الدالة	gdx=∫0xsechtdt
دالة عكسية	gd−1x=∫0xsec⁡tdt=ln⁡\|tan⁡x+sec⁡x\|
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	ℝ
المجال المقابل	]−π2,π2[
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
نهاية الدالة عند +∞	π2
نهاية الدالة عند -∞	−π2
خطوط مقاربة	y=π2 و y=−π2
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0
	تعديل مصدري - تعديل

تربط الدالة الغودرمانية أو دالة غودرمان، التي سميت على اسم كريستوف غودرمان (1798–1852)، الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون استخدام الأعداد المركبة.

تعرّف بـ :^[1]^[2]^[3]

g d x = \int_{0}^{x} s e c h t d t .

الخصائص

\begin{array}{l} g d x & = \arcsin (\tanh x) = \arctan (\sinh x) = a r c c s c (\coth x) \\ [6 p t] & = sgn x) \arccos (s e c h x) = sgn x) a r c s e c (\cosh x) \\ [6 p t] & = 2 \arctan (\tanh \frac{x}{2}) \\ [6 p t] & = 2 \arctan (e^{x}) - \frac{π}{2} = - i \ln (s e c h x + i \tanh x) \\ [6 p t] & = - \frac{i}{2} \ln (\frac{1 + i \sinh x}{1 - i \sinh x}) = - i \ln (\frac{1 + i \sinh x}{\cosh x}) \\ [6 p t] & = - i \ln (\frac{1 + i \tanh \frac{x}{2}}{1 - i \tanh \frac{x}{2}}) = - i \ln (i \tanh (\frac{x}{2} - \frac{i π}{4})) . \end{array}

\begin{array}{l} \sin (g d x) & = \tanh x; & \csc (g d x) & = \coth x; \\ [6 p t] \cos (g d x) & = s e c h x; & \sec (g d x) & = \cosh x; \\ [6 p t] \tan (g d x) & = \sinh x; & \cot (g d x) & = c s c h x; \\ [6 p t] \tan (\frac{g d x}{2}) & = \tanh \frac{x}{2} . \end{array}

رسم بياني لمعكوس دالة غودرمانية

\begin{array}{l} {g d}^{- 1} x & = \int_{0}^{x} \sec t d t for - \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \\ [8 p t] & = \ln | \frac{1 + \sin x}{\cos x} | = \frac{1}{2} \ln | \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} | = \ln | \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} | \\ [8 p t] & = \ln | \tan x + \sec x | = \ln | \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) | \\ [8 p t] & = a r t a n h (\sin x) = a r s i n h (\tan x) \\ [6 p t] & = 2 a r t a n h (\tan \frac{x}{2}) \\ [6 p t] & = a r c o t h (\csc x) = a r c s c h (\cot x) \\ [6 p t] & = s g n (x) a r c o s h (\sec x) = s g n (x) a r s e c h (\cos x) \\ [6 p t] & = - i g d (i x) . \end{array}

\begin{array}{l} \sinh ({g d}^{- 1} x) & = \tan x; & c s c h ({g d}^{- 1} x) & = \cot x; \\ [6 p t] \cosh ({g d}^{- 1} x) & = \sec x; & s e c h ({g d}^{- 1} x) & = \cos x; \\ [6 p t] \tanh ({g d}^{- 1} x) & = \sin x; & \coth ({g d}^{- 1} x) & = \csc x . \end{array}

\frac{d}{d x} g d x = s e c h x; \frac{d}{d x} {g d}^{- 1} x = \sec x .

^ Olver، F.W.J.؛ Lozier، D.W.؛ Boisvert، R.F.؛ Clark، C.W.، المحررون (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. مؤرشف من الأصل في 2022-05-14.
^ Handbook of Mathematical Sciences (ط. 5th). Boca Raton, FL: CRC Press. 1987. ص. 323–325.
^ إيريك ويستاين، Gudermannian، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

دالة غودرمانية في المشاريع الشقيقة:

دالة غودرمانية
التمثيل البياني للدالة الغودرمانية التمثيل البياني للدالة الغودرمانية
تدوين	$g d x$
تعريف الدالة	$g d x = \int_{0}^{x} s e c h t d t$
دالة عكسية	${g d}^{- 1} x = \int_{0}^{x} \sec t d t = \ln \| \tan x + \sec x \|$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$ℝ$
المجال المقابل	$] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
نهاية الدالة عند +∞	$\frac{π}{2}$
نهاية الدالة عند -∞	$- \frac{π}{2}$
خطوط مقاربة	$y = \frac{π}{2}$ و $y = - \frac{π}{2}$
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0
تعديل مصدري - تعديل