عرض مصدر رياضيات

{{بطاقة تخصص
|صورة=Mathematic World.jpg
|صنف فرعي من=[[علوم شكلية]]، [[علوم دقيقة]]
|يمتهنه     = [[عالم رياضيات|رياضياتي]]
|فروع   =[[رياضيات بحتة]]، [[رياضيات تطبيقية]]
|موضوع      = [[كمية|كمية رياضية]]، [[بنية رياضية]]، [[فضاء رياضي]]، [[تفاضل وتكامل|تغير رياضي]]
|تاريخ      =[[تاريخ الرياضيات]]
}}
{{شريط جانبي رياضيات}}
'''الرِّيَاضِيَّات''' هي مجموعة من المعارف المجردة الناتجة عن الاستنتاجات المنطقية المطبقة على مختلف [[كائن رياضي|الكائنات الرياضية]] مثل [[مجموعة (رياضيات)|المجموعات]]، و[[عدد|الأعداد]]، [[شكل|والأشكال]] و[[بنية رياضية|البنيات]] [[تحويل رياضي|والتحويلات]]. وتهتم الرياضيات أيضًا بدراسة مواضيع مثل [[كمية|الكمية]]{{للهامش|1}} و[[بنية رياضية|البنية]]{{للهامش|2}} و[[فضاء رياضي|الفضاء]]<ref name=OED/> و[[تفاضل وتكامل|التغير]].{{للهامش|3}}<ref name="Ramana">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Applied Mathematics |ناشر=Tata McGraw–Hill Education |مؤلف=Ramana |سنة=2007 |صفحة=[https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 2.10] |isbn=978-0-07-066753-2 |اقتباس=الدراسة الرياضية للتغيير أو الحركة أو النمو أو الاضمحلال هي حساب التفاضل والتكامل.}}</ref><ref name="Ziegler">{{استشهاد بكتاب |عنوان=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |ناشر=Springer |مؤلف=Ziegler, Günter M. |مؤلف-وصلة=Günter M. Ziegler |سنة=2011 |صفحة=[https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 vii] |isbn=978-3-642-19532-7 |الفصل=What Is Mathematics? |مسار=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |تاريخ الوصول=1 يونيو 2019 |تاريخ أرشيف=7 يناير 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170107124522/https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |حالة المسار=dead }}</ref><!--<<< Please do NOT change the opening sentence without discussion; much time and discussion have been invested in its current form.--> ولا يوجد حتى الآن تعريف عام متفق عليه للمصطلح.<ref name=Mura/><ref name=Runge/>

يسعى [[عالم رياضيات|علماء الرياضيات]] إلى استخدام أنماط رياضية لصياغة فرضيات جديدة؛<ref>Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–16. And summarized at [http://www.ascd.org/publications/curriculum-handbook/409/chapters/The-Future-of-Mathematics-Education.aspx Association for Supervision and Curriculum Development] Archived October 28, 2010, at the Wayback Machine, www.ascd.org. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180926162826/http://www.ascd.org/publications/curriculum-handbook/409/chapters/The-Future-of-Mathematics-Education.aspx |date=26 سبتمبر 2018}}</ref><ref>Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5</ref> من خلال استعمال [[برهان رياضي|إثباتات رياضية]] بهدف الوصول للحقيقة وذرء الفرضيات السابقة أو الخاطئة. فمن خلال استخدام ال[[تجريد]] وال[[المنطق|منطق]]، طُوِّرت الرياضيات من ال[[عد (رياضيات)|عد]] وال[[حساب]] وال[[قياس (رياضيات)|قياس]] إلى الدراسة المنهجية للأشكال وحركات الأشياء المادية. لقد كانت الرياضيات العملية نشاطًا إنسانيًا يعود إلى تاريخ وجود السجلات المكتوبة. يمكن أن يستغرق البحث المطلوب لحل المسائل الرياضية سنوات أو حتى قرون من البحث المستمر.

ظهرت الحجج الصارمة أولًا في الرياضيات اليونانية، وعلى الأخص في [[الأصول (كتاب)|أصول]] [[إقليدس]]. منذ العمل الرائد ل[[جوزيبه بيانو]] ([[1858]]-[[1932]])، و[[ديفيد هيلبرت]] ([[1862]]-[[1943]])، وغيرهم في النظم البديهية في أواخر القرن التاسع عشر، أصبح من المعتاد النظر إلى الأبحاث الرياضية كإثبات للحقيقة عن طريق الاستنتاج الدقيق للبديهيات والتعاريف المختارة بشكل مناسب. وتطورت الرياضيات بوتيرة بطيئة نسبيًا حتى [[عصر النهضة]]، عندما أدت الابتكارات الرياضية التي تتفاعل مع الاكتشافات العلمية الجديدة إلى زيادة سريعة في معدل الاكتشافات الرياضية التي استمرت حتى يومنا هذا.<ref>Eves, p. 306</ref>

تعتبر الرياضيات ضرورية في العديد من المجالات، لما لها من قدرة على وضع [[نموذج رياضي|نماذج رياضية]] تمكّنها من صياغة سلوك ما أو [[تنبؤ|التنبؤ]] بسلوك محتمل.<ref>[http://www.landinfo.com/resources_dictionaryMP.htm landinfo.com, definition of map projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170911133347/http://www.landinfo.com/resources_dictionaryMP.htm |date=11 سبتمبر 2017}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة | مؤلف1-الأخير = Pyke | مؤلف1-الأول = G. H. | doi = 10.1146/annurev.es.15.110184.002515 | عنوان = Optimal Foraging Theory: A Critical Review | صحيفة = Annual Review of Ecology and Systematics | المجلد = 15 | صفحات = 523–575 | سنة = 1984 | pmid =  | pmc = }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Gallistel |الأول= |عنوان=The Organization of Learning |مكان=Cambridge |ناشر=The MIT Press |سنة=1990 |ISBN=0-262-07113-4 }}</ref> من أشهر المجالات التي تستعمل النماذج الرياضية [[علوم طبيعية|العلوم الطبيعية]] وال[[هندسة]] وال[[طب]] وال[[تمويل]] و[[علوم اجتماعية|العلوم الاجتماعية]]. أدت [[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]] إلى تخصصات رياضية جديدة تمامًا، مثل [[إحصاء|الإحصاء]] و[[نظرية الألعاب]] و[[تحكم أمثل|التحكم الأمثل]]. يشارك علماء الرياضيات في [[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]] دون وضع أي تطبيق على أرض الواقع، ولكن غالبًا ما يتم اكتشاف التطبيقات العملية لما بدأ في الأول كرياضيات بحتة.<ref>Peterson, p. 12</ref><ref>Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". [http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html Communications on Pure and Applied Mathematics]. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Archived from the original on February 28, 2011. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190505104723/https://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |date=05 مايو 2019}}</ref>

وفقا لاستطلاع أجرته مجموعة خبراء التصنيف الدولية [[مرصد IREG للترتيب الأكاديمي والتميز|IREG]] في عام ([[2013]]-[[2014]])، جاءت [[قائمة الحاصلين على جائزة أبيل|جائزة أبيل]] التي بدأت عام ([[2003]]) والتي تمنحها سنويًا [[الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب]] في المرتبة الأولى كأكثر جائزة مرموقة في مجال الرياضيات. وجاءت في المرتبة الثانية [[ميدالية فيلدز]] التي يرعاها [[الاتحاد الدولي للرياضيات]] منذ عام ([[1936]]). وفي المرتبة الثالثة جاءت [[جائزة وولف في الرياضيات]] التي تمنحها سنويًا [[مؤسسة وولف]] منذ عام ([[1978]]).<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=IREG Observatory on Academic Ranking and Excellence|عنوان=IREG List of International Academic Awards|ناشر=IREG Observatory on Academic Ranking and Excellence|مكان=Brussels|مسار=https://ireg-observatory.org/pdfy/IREG-list-academic-awards-EN.pdf|تاريخ الوصول=3 مارس 2018| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190312125455/http://ireg-observatory.org/en/pdfy/IREG-list-academic-awards-EN.pdf | تاريخ أرشيف = 12 مارس 2019 |حالة المسار=dead}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|مؤلف1-الأخير=Zheng|مؤلف1-الأول=Juntao|مؤلف2-الأخير=Liu|مؤلف2-الأول=Niancai|عنوان=Mapping of important international academic awards|صحيفة=Scientometrics|تاريخ=2015|المجلد=104|صفحات=763-791|doi=10.1007/s11192-015-1613-7}}</ref> تعتبر هذه الجوائز من بين أكثر الجوائز شهرة بفضل قيمتها المالية، ويعتبر البعض [[قائمة الحاصلين على جائزة أبيل|جائزة أبيل]] و[[ميدالية فيلدز]] بمثابة [[جائزة نوبل]] في مجال الرياضيات لأن [[لجنة نوبل|جائزة نوبل]] لا تمنح في هذا المجال.<ref name=":0">{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Ball|الأول=Philip|عنوان=Iranian is first woman to nab highest prize in maths|مسار=https://www.nature.com/news/iranian-is-first-woman-to-nab-highest-prize-in-maths-1.15686|صحيفة=Nature|لغة=en|doi=10.1038/nature.2014.15686| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191008040735/https://www.nature.com/news/iranian-is-first-woman-to-nab-highest-prize-in-maths-1.15686 | تاريخ أرشيف = 8 أكتوبر 2019 }}</ref><ref name=":2">{{استشهاد ويب|مسار=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/FieldsMedal/|عنوان=Fields Medal|موقع=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk|تاريخ الوصول=2018-03-29| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190322134417/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Honours/FieldsMedal.html | تاريخ أرشيف = 22 مارس 2019 }}</ref><ref name=":3">{{استشهاد ويب|مسار=https://www.uchicago.edu/about/accolades/14/|عنوان=Fields Medal|موقع=The University of Chicago|لغة=en|تاريخ الوصول=2018-03-29| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190407140029/https://www.uchicago.edu/about/accolades/14/ | تاريخ أرشيف = 7 أبريل 2019 }}</ref>

== التاريخ ==
{{مفصلة|تاريخ الرياضيات|تاريخ الرياضيات اليونانية|رياضيات هندية|الرياضيات عند قدماء المصريين|رياضيات صينية|الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية}}
[[ملف:Kapitolinischer Pythagoras adjusted.jpg|تصغير|250بك|يمين|عالم الرياضيات الإغريقي [[فيثاغورس]] (حوالي 570 - 495 قبل الميلاد)، ينسب إليه اكتشاف [[مبرهنة فيثاغورس]].]]
[[ملف:Plimpton 322.jpg|تصغير|250بك|يسار|لوحة بابلية تحتوي على جداول رياضية، يعود تاريخها إلى ما يقارب 1800 عام قبل الميلاد اسمها ''بليمتون ''322.]]
[[ملف:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|تصغير|250بك|يسار|صورة ل[[بردية ريند الرياضية]].]]
[[ملف:Archimedes pi.svg|250px|تصغير|يسار|استخدم [[أرخميدس]] [[طريقة استنفاد|طريقة الاستنفاد]] لتقدير قيمة الثابت [[ط (رياضيات)|ط]] (باي).]]
[[ملف:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|250px|تصغير|يسار|صفحة من كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، [[محمد بن موسى الخوارزمي|للخوارزمي]].]]
[[ملف:Numerals.png|250px|تصغير|يسار|نظام [[أرقام عربية|الترقيم العربي]]، المطور من [[نظام العد الهندي العربي|نظام العد الهندي]].]]
يمكن اعتبار تاريخ الرياضيات كسلسلة متزايدة من التجريدات. ربما كان التجريد الأول، الذي تشترك فيه العديد من الحيوانات،<ref>{{استشهاد بدورية محكمة |عنوان=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |وصلة=https://archive.org/details/sim_trends-in-neurosciences_1998-08_21_8/page/355 |صحيفة=Trends in Neurosciences |المجلد=21 |العدد=8 |تاريخ=Aug 1998 |صفحات=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604  |مؤلف1-الأخير=Dehaene |مؤلف1-الأول=Stanislas |مؤلف2-الأخير=Dehaene-Lambertz |مؤلف2-الأول=Ghislaine |مؤلف3-الأخير=Cohen |مؤلف3-الأول=Laurent}}</ref> هو [[عدد|الأعداد]]: إدراك أن مجموعة من تفاحتين ومجموعة من برتقالتين (على سبيل المثال) تشترك في شيء ما، ألا وهو [[كمية]] أعضائها.

كما يتضح من الأرقام الموجودة على ال[[عظم|عظام]]، بالإضافة إلى إدراك كيفية حساب الأشياء المادية، ربما أدركت شعوب [[عصر ما قبل التاريخ|ما قبل التاريخ]] أيضًا كيفية حساب الكميات المجردة، مثل ال[[وقت]] و[[يوم|الأيام]] وال[[فصول السنة|فصول]] وال[[سنة|سنوات]].<ref>See, for example, Raymond L. Wilder, ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref>

لا تظهر أدلة الرياضيات المعقدة حتى حوالي عام 3000 [[قبل الميلاد]]، عندما بدأ ال[[بابل]]يون وال[[مصريون]] في استخدام ال[[حساب]] وال[[جبر]] وال[[هندسة رياضية|هندسة]] لفرض الضرائب والحسابات المالية الأخرى، للبناء والتشييد، و[[علم الفلك]].<ref>Kline 1990, Chapter 1.</ref> أقدم النصوص الرياضية من [[بلاد الرافدين|بلاد ما بين النهرين]] و[[مصر]] هي من 2000-1800 قبل الميلاد. تذكر العديد من النصوص المبكرة أن نظرية فيثاغورس هي التطور الرياضي الأقدم والأكثر انتشارًا بعد ال[[حساب]] وال[[هندسة رياضية|هندسة]] الأساسية. في الرياضيات البابلية يظهر الحساب الأولي (ال[[جمع]] وال[[طرح]] وال[[ضرب]] وال[[قسمة (رياضيات)|قسمة]]) أولًا في السجل الأثري. يمتلك ال[[بابل]]يون أيضًا نظامًا للقيمة الموضعية، واستخدموا نظامًا رقميًا خاصًا بالجنس، ولا يزالون يستخدمون اليوم لقياس ال[[زاوية (هندسة)|زوايا]] وال[[وقت]].{{sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" p. 24–27}}

ابتداءً من القرن السادس قبل الميلاد مع [[فيثاغورس]]، بدأ [[يونانيون|الإغريق]] القدماء دراسة منهجية للرياضيات كموضوع في حد ذاته مع الرياضيات اليونانية.<ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Heath |الأول=Thomas Little |مسار= https://books.google.com/?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA1&dq#v=onepage&q=&f=false |عنوان=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid |مكان=New York |ناشر=Dover Publications |تاريخ=1981 |سنة النشر الأصلية=originally published 1921 |isbn=978-0-486-24073-2|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200311104744/https://books.google.com/?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA1&dq#v=onepage&q=&f=false|تاريخ أرشيف=2020-03-11}}</ref> حوالي 300 قبل الميلاد، قدم [[إقليدس]] الطريقة البديهية التي لا تزال تستخدم في الرياضيات اليوم، والتي تتكون من التعريف، البديهية، النظرية، و[[برهان رياضي|الإثبات]]. يعتبر كتابه [[الأصول (كتاب)|الأصول]] الأكثر نجاحًا وتأثيرًا في كل العصور.{{sfn|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}} غالبًا ما يُعتبر عالم الرياضيات الأكبر في العصور القديمة [[أرخميدس]] (حوالي 287-212 قبل الميلاد).{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 120}} قام بتطوير صيغ لحساب مساحة السطح وحجم المواد الصلبة واستخدم [[طريقة استنفاد|طريقة الاستنفاد]] لحساب المنطقة تحت قوس [[قطع مكافئ|القطع المكافئ]] مع تجميع [[متسلسلة (رياضيات)|سلسلة لانهائية]]، بطريقة لا تختلف كثيرًا عن حساب [[تفاضل وتكامل|التفاضل والتكامل]] الحديث.{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 130}} الإنجازات البارزة الأخرى في الرياضيات اليونانية هي [[قطع مخروطي|أقسام مخروطية]] ([[أبلونيوس البرغاوي]]، القرن الثالث قبل الميلاد)،{{sfn|Boyer|1991|loc="Apollonius of Perga" p. 145}} و[[حساب المثلثات|علم المثلثات]] ([[أبرخش]]، القرن الثاني قبل الميلاد)،{{sfn|Boyer|1991|loc= "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162}} وبدايات ال[[جبر]] ([[ديوفانتوس الإسكندري]]، القرن الثالث للميلاد).{{sfn|Boyer|1991|loc= "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180}}

تطور [[نظام العد الهندي العربي]] وقواعد استخدام عملياتها، المستخدمة في جميع أنحاء العالم اليوم، على مدار الألفية الأولى الميلادية في الهند وتم نقلها إلى العالم الغربي عبر [[الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية|الرياضيات في العالم الإسلامي]]. تشمل التطورات الأخرى البارزة في [[الرياضيات في الهند القديمة|الرياضيات الهندية]] التعريف الحديث لل[[جيب (رياضيات)|جيب]] و[[جيب التمام]]، وشكل مبكر من [[متسلسلة (رياضيات)|سلسلة لانهائية]].

كان ل[[عالم (إسلام)|علماء المسلمين]] في [[العصر الذهبي للإسلام|عصر الحضارة الإسلامية]] فضل كبير في تقدم علم الرياضيات، فقد أثروه وابتكروا فيه وأضافوا إليه وطوّروه، استفاد العالم أجمع من الإرث الذي تركوه. في البداية، جمع العلماء المسلمون نتاج علماء الأمم السابقة في حقل الرياضيات، ثم ترجموه، ومنه انطلقوا في الاكتشاف والابتكار والإبداع، ويُعد المسلمون أول من اشتغل في [[جبر|علم الجبر]] وأول من كتب فيه [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]]،<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1-الأخير= [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]]|مؤلف1-الأول= محمد بن موسى|محرر= [[علي مصطفى مشرفة]]، محمد مرسي أحمد|عنوان= [[كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة]]|طبعة= الأولى|سنة= 1986|ناشر= الجامعة المصرية ودار الكاتب العربي|مكان= القاهرة}}</ref> وهم الذين أطلقوا عليه اسم «الجبر»، ونتيجة الاهتمام الذي أولوه إليه، فقد كانوا أول من ألَّف فيه بطريقة علمية منظمة. كما توسعوا في [[حساب المثلثات]] و[[نسبة (رياضيات)|بحوث النسبة]] التي قسموها إلى ثلاثة أقسام: عددية وهندسية وتأليفية، وحلّوا بعض [[معادلة خطية|المعادلات الخطية]] بطريقة حساب الخطأين، و[[معادلة تربيعية|المعادلات التربيعية]]، وأحلّوا [[جيب (رياضيات)|الجيوب]] محل [[وتر (مثلث)|الأوتار]]، وجاءوا بنظريات أساسية جديدة لحل مثلثات الأضلاع، وربطوا علم الجبر بالأشكال الهندسية، وإليهم يرجع الفضل في وضع [[حساب المثلثات|علم المثلثات]] بشكل علمي منظم مستقل عن [[علم الفلك]]، ما دفع الكثيرين إلى اعتباره علمًا عربيًّا خالصًا.<ref name="شمسنا">[http://www.shamsunalarabia.org/files/Math-1.pdf?time=1394884289 تاريخ الرياضيات، موقع شمسنا العربية]، ص9-10 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160603000657/http://www.shamsunalarabia.org/files/Math-1.pdf?time=1394884289 |date=03 يونيو 2016}}</ref> ومن الإنجازات البارزة الأخرى في الفترة الإسلامية هي التقدم في علم المثلثات الكروية وإضافة العلامة العشرية إلى نظام الأرقام العربية. كان العديد من علماء الرياضيات البارزين من هذه الفترة من بلاد فارس، مثل [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]] و[[عمر الخيام]] و[[شرف الدين الطوسي]].

حتى حوالي عام [[1700]] في [[أوروبا]]، كان مصطلح الرياضيات أكثر شيوعًا بمعنى «[[تنجيم|علم التنجيم]]» (أو في بعض الأحيان «[[علم الفلك]]») بدلًا من «الرياضيات»؛ لقد تغير المعنى تدريجيًّا إلى معناه الحالي من حوالي [[1500]] إلى [[1800]] للميلاد.<ref name="Boas" />

خلال الفترة الحديثة المبكرة، بدأت الرياضيات في التطور بوتيرة متسارعة في [[أوروبا الغربية]]. تطور [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]] من قبل [[إسحاق نيوتن|نيوتن]] و[[غوتفريد لايبنتس|لايبنز]] في القرن السابع عشر أحدث ثورة في الرياضيات. كان [[ليونهارت أويلر]] عالم الرياضيات الأكثر شهرة في القرن الثامن عشر، حيث ساهم في العديد من النظريات والاكتشافات. ربما كان عالم الرياضيات الأول في القرن التاسع عشر عالم الرياضيات الألماني [[كارل فريدريش غاوس]]، الذي قدم مساهمات عديدة في مجالات مثل ال[[جبر]] وال[[تحليل رياضي|تحليل]] و[[هندسة تفاضلية|الهندسة التفاضلية]] و[[مصفوفة (رياضيات)|نظرية المصفوفة]] و[[نظرية الأعداد]] و[[إحصاء|الإحصاء]]. في أوائل القرن العشرين، قام [[كورت غودل]] بتغيير مفهومنا عن الرياضيات من خلال نشر [[مبرهنات عدم الاكتمال لغودل|مبرهنات عدم الاكتمال]]، والتي توضح أن أي نظام بديهي ثابت سوف يحتوي على مقترحات غير قابلة للإثبات.

منذ ذلك الحين امتدت الرياضيات إلى حد كبير، وكان هناك تفاعل مثمر بين الرياضيات وال[[علم|علوم]]، لما فيه فائدة لكليهما. الاكتشافات الرياضية لا تزال تبذل اليوم. وفقا لميخائيل سيفريوك، في عدد يناير [[2006]] من نشرة [[جمعية الرياضيات الأمريكية|الجمعية الرياضية الأمريكية]]، «عدد الأوراق والكتب المدرجة في قاعدة بيانات المراجعات الرياضية منذ عام [[1940]] (السنة الأولى من تشغيل [[ماثماتيكل ريفيوز]]) هو الآن أكثر من 1.9 مليون، وأكثر من 75 ألف عنصر إلى [[قاعدة بيانات|قاعدة البيانات]] كل عام. تحتوي الغالبية العظمى من الأعمال في هذا المحيط على نظريات رياضية جديدة وإثباتها».{{sfn|Sevryuk|2006|pp=101–09}}

=== أصل الكلمة ===
كلمة الرياضيات تأتي من {{لغة-يونانية|máthēma}}، وتعني «ما الذي تم تعلمه»،<ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد ويب |عنوان=mathematic |ناشر=[[قاموس علم اشتقاق الألفاظ]] |مسار=https://www.etymonline.com/word/mathematic |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20130307093926/http://etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0 |تاريخ أرشيف=March 7, 2013 |df=mdy-all |حالة المسار=live}}</ref> «ما يمكن للمرء أن يعرف»، وبالتالي «الدراسة» و«ال[[علم]]». أصبحت كلمة «الرياضيات» تحمل معنى «دراسة رياضية» أضيق وأكثر تقنية حتى في الأوقات الكلاسيكية.<ref>Both senses can be found in Plato. {{LSJ|maqhmatiko/s|μαθηματική|ref}}</ref> صفتها هي (θημαθηματικός (mathēmatikós، بمعنى «ذات صلة بالتعلم» أو «مجتهد»، والتي أصبحت كذلك تعني «رياضية». على وجه الخصوص، (μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē، {{لات|ars mathematica}}، وتعني «الفن الرياضي».

وبالمثل، كانت إحدى مدرستي الفكر الرئيسيتين في فيثاغوريات تُعرف باسم mathēmatikoi) μαθηματικοί) والتي كانت في ذلك الوقت تعني «المعلمين» بدلًا من «[[عالم رياضيات|علماء الرياضيات]]» بالمعنى الحديث.

في [[اللغة اللاتينية]]، وفي [[اللغة الإنجليزية]] حتى حوالي عام [[1700]]، كان مصطلح الرياضيات أكثر شيوعًا ب«[[تنجيم|علم التنجيم]]» (أو في بعض الأحيان «[[علم الفلك]]») بدلًا من «الرياضيات»؛ لقد تغير المعنى تدريجيًّا إلى معناه الحالي من حوالي [[1500]] إلى [[1800]]. وقد أدى ذلك إلى العديد من الترجمات الخاطئة. على سبيل المثال، تحذير القديس [[أوغسطينوس]] بأنه يجب على المسيحيين أن يحذروا من الرياضيات، أي ال[[منجم]]ين، يتم تفسيره أحيانًا باعتباره إدانة لعلماء الرياضيات.<ref name="Boas">{{استشهاد بكتاب | عنوان=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr | ناشر=Cambridge University Press | مؤلف=Boas, Ralph | مؤلف-وصلة=Ralph P. Boas Jr. | سنة=1995 | سنة النشر الأصلية=1991 | صفحة=257 | مسار الفصل=https://books.google.com/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257 | الفصل=What Augustine Didn't Say About Mathematicians}}</ref>

يعود شكل الجمع الواضح ب[[اللغة الإنجليزية]]، مثل صيغة الجمع الفرنسية للرياضيات (والمشتق المفرد الأقل استخدامًا للرياضيات)، إلى الرياضيات التعددية اللغوية اللاتينية، بناءً على الجمع اليوناني (θημαθηματικά (ta mathēmatiká، استخدمه [[أرسطو]] (384–322 قبل الميلاد)، ويعني «كل الأشياء الرياضية»؛ على الرغم من أنه من المعقول أن تقترض اللغة الإنجليزية فقط ((mathematic(al) وشكلت الرياضيات الاسم من جديد، بعد نمط ال[[فيزياء]] وال[[ما وراء الطبيعة|ميتافيزيقيا]]، التي ورثت من اليونانية.<ref>''[[The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', ''[[قاموس أكسفورد الإنجليزي]]'', ''sub'' "mathematics", "mathematic", "mathematics"</ref> في اللغة الإنجليزية، تأخذ كلمة (mathematics) الاسمية صيغة مفردة. غالبًا ما يتم اختصارها إلى (maths) أو (math) في [[أمريكا الشمالية]].<ref name=maths>[https://oed.com:443/start;jsessionid=01F9A08E17BF8DD87E8E9DD66ED8FD16?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F114982 "maths, ''n.''"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200831185147/https://oed.com/start;jsessionid=01F9A08E17BF8DD87E8E9DD66ED8FD16?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F114982 |date=31 أغسطس 2020 }} and [http://oed.com/view/Entry/114962 "math, ''n.3''"]. ''Oxford English Dictionary,'' on-line version (2012). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200404201407/http://oed.com/view/Entry/114982 |date=2020-04-04 }}</ref>

==== أصل الكلمة في اللغة العربية ====
يأتي مصطلح الرياضيات من الجذر اللغوي رَوْض.<ref>[https://www.almaany.com/ar/dict/ar-ar/%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA/ مصطلح الرياضيات - معجم المعاني الجامع] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150928222442/http://www.almaany.com:80/ar/dict/ar-ar/رياضيات |date=28 سبتمبر 2015}}</ref> يذكر قاموس [[مجمع اللغة العربية بالقاهرة|مجمع اللغة العربية في القاهرة]] بأن كلمة رياضة تشير إلى علم الرياضيات وأيضًا استخدمت صفة «رياضيّ/رياضيّة» بديل مصطلح [[عالم رياضيات]] أو [[عالم رياضيات|رياضياتي]].<ref>[https://www.translatorscafe.com/cafe/MegaBBS/forumthread13101.htm رياضة أم رياضيات؟] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200106004328/https://www.translatorscafe.com/cafe/MegaBBS/forumthread13101.htm |date=6 يناير 2020}}</ref> كان مصطلح الرياضيات يتم استبداله بمصطلح «علم الحساب» وأيضًا قام [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]] بإضافة مصطلح «ال[[جبر]]» وهنالك مصطلح إضافي هو [[حساب المثلثات|علم المثلثات]]، كانت هذه المصطلحات تقوم مقام مصطلح الرياضيات في الكتابات العربية القديمة.

== تعريف ومفهوم الرياضيات ==
[[ملف:Fibonacci.jpg|250px|تصغير|يسار|[[ليوناردو فيبوناتشي]]، عالم الرياضيات الإيطالي الذي قدم [[نظام العد الهندي العربي|نظام الأرقام الهندوسية العربية]] الذي اخترعه علماء الرياضيات الهنود بين القرنين الأول والرابع، للعالم الغربي.]]
ليس للرياضيات تعريف مُتفق عليه بشكل عام.<ref name=Mura/><ref name=Runge/> عرّف [[أرسطو]] الرياضيات بأنها «علم الكمية»، وساد هذا التعريف حتى [[القرن 18|القرن الثامن عشر]].<ref name="Franklin">{{استشهاد بكتاب |مسار=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false |عنوان=Philosophy of Mathematics |الأخير=Franklin |الأول=James |تاريخ=2009-07-08 |isbn=978-0-08-093058-9 |صفحة=104| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200127171141/https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104 | تاريخ أرشيف = 27 يناير 2020 }}</ref> قال [[غاليليو غاليلي]] (1564–1642): «لا يمكن قراءة ال[[الكون|كون]] حتى نتعلم اللغة ونتعرف على الحروف التي كتبت بها. إنه مكتوب بلغة رياضية، والحروف [[مثلث]]ات و[[دائرة|دوائر]] وغيرها من الأشكال الهندسية. حروف، بدونها تعني أنه من المستحيل إنسانيًا فهم كلمة واحدة، وبدون ذلك، يتجول الشخص في متاهة مظلمة».<ref>[[ماركوس دو سوتوي]]، ''[https://www.bbc.co.uk/programmes/b00sr3fm A Brief History of Mathematics: 1. Newton and Leibniz] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121206092629/http://www.bbc.co.uk/programmes/b00sr3fm |date=6 ديسمبر 2012 }}'', [[بي بي سي راديو 4|راديو بي بي سي 4]], September 27, 2010.</ref> أشار [[كارل فريدريش غاوس]] (1777-1855) إلى الرياضيات باسم «ملكة العلوم».<ref name="Waltershausen">Waltershausen, p. 79</ref> صرح [[ألبرت أينشتاين]] (1879-1955) بأنه «بقدر ما تشير قوانين الرياضيات إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع».{{للهامش|4}}

ابتداءً من [[القرن 19|القرن التاسع عشر]]، عندما ازدادت دراسة الرياضيات بصرامة وبدأت في معالجة الموضوعات المجردة مثل [[نظرية المجموعات]] و[[هندسة إسقاطية|الهندسة الإسقاطية]]، التي لا علاقة واضحة لها بال[[كمية]] وال[[قياس (رياضيات)|قياس]]، بدأ [[عالم رياضيات|علماء الرياضيات]] وال[[فيلسوف|فلاسفة]] في اقتراح مجموعة متنوعة من التعريفات.<ref name="Cajori">{{استشهاد بكتاب |عنوان=A History of Mathematics |ناشر=American Mathematical Society (1991 reprint) |مؤلف=Cajori, Florian |مؤلف-وصلة=Florian Cajori |سنة=1893 |صفحات=[https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86] |isbn=978-0-8218-2102-2 |مسار=https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 |تاريخ الوصول=7 يونيو 2019 |تاريخ أرشيف=7 يناير 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170107115659/https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 |حالة المسار=dead }}</ref> تؤكد بعض هذه التعريفات على الطابع الاستنتاجي للكثير من الرياضيات، وبعضها يركز على تجريده، بينما يركز البعض على مواضيع معينة داخل الرياضيات. اليوم، لا يوجد توافق في الآراء حول تعريف الرياضيات، حتى بين المهنيين.<ref name="Mura">{{استشهاد بدورية محكمة |عنوان=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences |مؤلف=Mura, Roberta |صحيفة=Educational Studies in Mathematics |تاريخ=Dec 1993 |المجلد=25 |العدد=4 |صفحات=375–385  |doi=10.1007/BF01273907 |jstor=3482762}}</ref> لا يوجد إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات [[فن]] أم [[علم]].{{للهامش|5}} الكثير من علماء الرياضيات المحترفين لا يهتمون بتعريف الرياضيات، أو يعتبرونه غير قابل للتعريف.<ref name=Mura/> يقول البعض فقط «الرياضيات هي ما يفعله علماء الرياضيات».<ref name=Mura/>

وتسمى ثلاثة أنواع رائدة من تعريف الرياضيات المنطق، الحدس، والشكلية، كل منها يعكس مدرسة فلسفية مختلفة.<ref name=Snapper>{{استشهاد بدورية محكمة |doi=10.2307/2689412 |عنوان=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism |صحيفة=Mathematics Magazine |تاريخ=September 1979 |الأول=Ernst |الأخير=Snapper |المجلد=52 |العدد=4 |صفحات=207–16 |المعرف= |jstor=2689412 |bibcode=1975MathM..48...12G }}</ref> جميعهم يعانون من مشاكل حادة، لا يوجد قبول واسع النطاق، ولا يبدو أن الاتفاق ممكن.<ref name=Snapper/>

كان التعريف المبكر للرياضيات من حيث المنطق ل[[بنيامين بيرس]] والذي قال «العلم الذي يستخلص النتائج الضرورية» ([[1870]]).<ref name="Peirce">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Linear Associative Algebra |مؤلف=Peirce, Benjamin |مؤلف-وصلة=Benjamin Peirce |سنة=1882 |صفحة=1 |مسار=https://books.google.com/books?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20150906135700/https://books.google.com/books?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false |تاريخ أرشيف=September 6, 2015 |df=mdy-all |حالة المسار=live}}</ref> في [[مبادئ الرياضيات]]، قدم [[بيرتراند راسل|برتراند راسل]] و[[ألفريد نورث وايتهيد]] البرنامج الفلسفي المعروف بالمنطقية، وحاولا إثبات أنه يمكن تعريف جميع المفاهيم والبيانات والمبادئ الرياضية وإثباتها بالكامل من حيث المنطق الرمزي.<ref name="Russell">{{استشهاد بكتاب |مسار= https://books.google.com/books?id=kj0a_aV2mxIC&pg=PA5#v=onepage&q&f=false |صفحة=5|عنوان=The Principles of Mathematics|سنة=1903|مؤلف1-الأخير=Russell|مؤلف1-الأول=Bertrand|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200311103822/https://books.google.com/books?id=kj0a_aV2mxIC&pg=PA5#v=onepage&q&f=false|تاريخ أرشيف=2020-03-11}}</ref>

تعرف التعريفات البديهية، التي نشأت من فلسفة عالم الرياضيات [[لويتسن براور|لويتزن براور]]، على الرياضيات مع بعض الظواهر العقلية. مثال على تعريف الحدس هو «الرياضيات هي النشاط العقلي الذي يتكون في تنفيذ بنيات واحدة تلو الأخرى».<ref name=Snapper/> وخصوصية الحدس هو أنه يرفض بعض الأفكار الرياضية التي تعتبر صالحة وفقا لتعاريف أخرى. على وجه الخصوص، في حين أن فلسفات الرياضيات الأخرى تسمح بوجود أشياء يمكن إثبات وجودها على الرغم من عدم إمكانية بنائها، فإن الحدس يسمح فقط بالأشياء الرياضية التي يمكن للمرء أن يصنعها بالفعل.

تعرّف التعاريف الشكلية الرياضيات برموزها وقواعد العمل عليها. عرف [[هاسكل كاري]] الرياضيات ببساطة بأنها «علم النظم الرسمية».<ref name="Curry">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics |ناشر=Elsevier |مؤلف=Curry, Haskell |مؤلف-وصلة=Haskell Curry |سنة=1951 |صفحة=[https://books.google.com/books?id=tZHrBQgp1bkC 56] |isbn=978-0-444-53368-5 |مسار=https://books.google.com/books?id=tZHrBQgp1bkC |تاريخ الوصول=7 يونيو 2019 |تاريخ أرشيف=7 يناير 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170107184354/https://books.google.com/books?id=tZHrBQgp1bkC |حالة المسار=dead }}</ref> النظام الرسمي هو مجموعة من الرموز أو الرموز المميزة وبعض القواعد التي توضح كيفية دمج الرموز في صيغ. في النظم الرسمية، فإن كلمة البديهية لها معنى خاص، تختلف عن المعنى العادي «لحقيقة بديهية». في الأنظمة الرسمية، البديهية هي مزيج من الرموز التي يتم تضمينها في نظام رسمي معين دون الحاجة إلى اشتقاقها باستخدام قواعد النظام.

=== ثلاثة تعريفات رائدة ===
ثلاثة تعريفات رائدة من تعريفات الرياضيات اليوم تسمى ال[[منطقانية]]، وال[[حدسية (فلسفة الرياضيات)|حدسية]]، وال[[شكلية (فلسفة الرياضيات)|شكلية]]، كل منها يعكس مدرسة فلسفية مختلفة.<ref name="مولد تلقائيا2">{{استشهاد بدورية محكمة |doi=10.2307/2689412 |عنوان=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism |صحيفة=Mathematics Magazine |تاريخ=September 1979 |الأول=Ernst |الأخير=Snapper |المجلد=52 |العدد=4 |صفحات=207–16 |المعرف= |jstor=2689412  }}</ref> جميعها بها عيوب خطيرة، ولا يوجد قبول واسع لأي منها، ولا يبدو أن الاتفاق ممكن.<ref name="مولد تلقائيا2" />

==== التعريفات المنطقانية ====
{{مفصلة|منطقانية}}
كان التعريف المبكر للرياضيات من حيث المنطقانية هو تعريف بنجامين بيرس (1870): «العلم الذي يستخلص الاستنتاجات الضرورية».<ref name="مولد تلقائيا4">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Linear Associative Algebra |ناشر=Van Nostrand |مؤلف=Peirce, Benjamin |مؤلف-وصلة=Benjamin Peirce |سنة=1882 |صفحة=[https://archive.org/details/bub_gb_De0GAAAAYAAJ/page/n62 1] |مسار=https://archive.org/details/bub_gb_De0GAAAAYAAJ |df=mdy-all | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201003030515/https://archive.org/details/bub_gb_De0GAAAAYAAJ | تاريخ أرشيف = 3 أكتوبر 2020 }}</ref> في [[مبادئ الرياضيات]]، طور [[بيرتراند راسل|برتراند راسل]] و[[ألفريد نورث وايتهيد]] البرنامج الفلسفي المعروف بالمنطقانية، وحاول إثبات أن جميع المفاهيم والبيانات والمبادئ الرياضية يمكن تعريفها وإثباتها بالكامل من حيث [[منطق رياضي|المنطق الرمزي]]. المنطقانية في تعريف الرياضيات بواسطة راسل (1903) «كل الرياضيات هي منطق رمزي.»<ref name="مولد تلقائيا3">{{استشهاد بكتاب|مسار=https://archive.org/details/principlesmathe00russgoog|صفحة=[https://archive.org/details/principlesmathe00russgoog/page/n36 5]|عنوان=The Principles of Mathematics|سنة=1903|مؤلف1-الأخير=Russell|مؤلف1-الأول=Bertrand|تاريخ الوصول=20 يونيو 2015| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20130319145217/http://archive.org/details/principlesmathe00russgoog | تاريخ أرشيف = 19 مارس 2013 }}</ref>

==== التعريفات الحدسية ====
{{مفصلة|حدسية (فلسفة الرياضيات)|ت1=حدسية}}
التعريفات الحدسية، التي نشأت من فلسفة عالم الرياضيات [[لويتسن براور|لويتزن براور]]، تحدد الرياضيات بظواهر عقلية معينة. مثال على التعريف الحدسي هو «الرياضيات هي النشاط العقلي الذي يتكون من تنفيذ البنى واحدة تلو الأخرى.»<ref name="مولد تلقائيا2" /> من خصوصية الحدسية أنه ترفض بعض الأفكار الرياضية التي تعتبر صالحة وفقًا لتعريفات أخرى. على وجه الخصوص، في حين أن فلسفات الرياضيات الأخرى تسمح بالأشياء التي يمكن إثبات وجودها على الرغم من عدم إمكانية بنائها، فإن الحدسية تسمح فقط بالكائنات الرياضية التي يمكن للمرء أن يبنيها بالفعل. ترفض الحدسية أيضًا [[الثالث المرفوع|قانون الوسط المستبعد]] (أي، <math>P \vee \neg P</math>). في حين أن هذا الموقف يجبرهم على رفض نسخة شائعة واحدة من [[برهان بالتناقض|الإثبات عن طريق التناقض]] كطريقة إثبات قابلة للتطبيق، أي استنتاج <math>P</math> من <math>\neg P \to \bot</math>، لا يزالون قادرين على استنتاج <math>\neg P</math> من <math>P \to \bot</math>. بالنسبة لهم، <math> \neg (\neg P) </math> هي عبارة أضعف تمامًا من <math> P </math>.<ref name=SEP-P>[https://plato.stanford.edu/entries/intuitionism/ Intuitionism in the Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200924074724/https://plato.stanford.edu/entries/intuitionism/ |date=24 سبتمبر 2020}}</ref>

==== التعريفات الشكلية ====
{{مفصلة|شكلية (فلسفة الرياضيات)|ت1=شكلية}}
تعرف الشكلية الرياضيات من خلال رموزها وقواعد العمل عليها. عرّف هاسكل كاري الرياضيات ببساطة على أنها «علم الأنظمة الرسمية».<ref name="مولد تلقائيا5">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics |ناشر=Elsevier |مؤلف=Curry, Haskell |مؤلف-وصلة=Haskell Curry |سنة=1951 |صفحة=[https://books.google.com/books?id=tZHrBQgp1bkC 56] |isbn=978-0-444-53368-5}}</ref> النظام الرسمي عبارة عن مجموعة من الرموز أو الرموز المميزة وبعض القواعد المتعلقة بكيفية دمج الرموز المميزة في صيغ. في الأنظمة الرسمية، كلمة بديهية لها معنى خاص يختلف عن المعنى العادي لـ«حقيقة بديهية»، وتُستخدم للإشارة إلى مجموعة من الرموز المميزة المضمنة في نظام رسمي معين دون الحاجة إلى اشتقاقها باستخدام قواعد النظام.

=== الرياضيات علما ===
[[ملف:Carl Friedrich Gauss.jpg|250px|تصغير|يسار|[[كارل فريدريش غاوس|كارل فريدريش جاوس]]، المعروف بلقب «أمير الرياضيات».]]
أشار عالم الرياضيات الألماني [[كارل فريدريش غاوس]] إلى الرياضيات باسم «ملكة العلوم».<ref name="Waltershausen" /> في الآونة الأخيرة، أطلق [[ماركوس دو سوتوي]] الرياضيات على أنها «ملكة العلوم. القوة الدافعة الرئيسية وراء الاكتشاف العلمي».<ref>{{استشهاد بحلقة |عنوان=Nicolas Bourbaki |مسار=https://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |تاريخ الوصول=26 أكتوبر 2017 |سلسلة=A Brief History of Mathematics |الأول=Marcus |الأخير=du Sautoy |محطة=BBC Radio 4 |تاريخ=25 June 2010 |الوقت=min. 12:50 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20161216050402/http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |تاريخ أرشيف=December 16, 2016 |df=mdy-all |حالة المسار=live}}</ref> في ([[اللغة اللاتينية|اللاتينية]]: Regina Scientiarum)، وكذلك في ([[اللغة الألمانية]]: Königin der Wissenschaften)، تعني الكلمة المقابلة للعلم «مجال المعرفة»، وكان هذا هو المعنى الأصلي «للعلم» ب[[اللغة الإنجليزية]] أيضًا؛ الرياضيات في هذا المعنى مجال المعرفة. يتبع التخصص الذي يقصر معنى «العلم» على [[علوم طبيعية|العلوم الطبيعية]] صعود علم [[فرانسيس بيكون|بيكون]]، الذي يقارن «العلوم الطبيعية» بالمدرسة، الطريقة الأرسطية للاستفسار من المبادئ الأولى. دور التجريب والملاحظة التجريبية ضئيل في الرياضيات، مقارنة بالعلوم الطبيعية مثل ال[[علم الأحياء|بيولوجيا]] وال[[كيمياء]] وال[[فيزياء]]. صرح [[ألبرت أينشتاين]] بأنه «بقدر ما تشير قوانين الرياضيات إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع».{{للهامش|4}}

يعتقد العديد من الفلاسفة أن الرياضيات ليست [[قابلية دحض|قابلة للدحض]] تجريبيًّا، وبالتالي فهي ليست علمًا وفقًا لتعريف [[كارل بوبر]].<ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists |مؤلف1=Shasha, Dennis Elliot |مؤلف2=Lazere, Cathy A. |ناشر=Springer |سنة=1998 |صفحة=228}}</ref> ومع ذلك، في ثلاثينيات [[القرن 20|القرن العشرين]]، أقنعت نظريات [[غودل]] عدم الاكتمال العديد من علماء الرياضيات بأنه لا يمكن اختزال الرياضيات إلى ال[[المنطق|منطق]] وحده، وخلص [[كارل بوبر]] إلى أن «معظم النظريات الرياضية هي، مثل نظريات ال[[فيزياء]] وال[[علم الأحياء|بيولوجيا]]، استنتاجي افتراضي؛ ف[[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]] استنتاجية. أقرب إلى العلوم الطبيعية التي فرضياتها هي التخمينات، مما بدا حتى في الآونة الأخيرة».<ref>Popper 1995, p. 56</ref> قام مفكرون آخرون، وخاصة [[إمري لاكاتوس]]، بتطبيق نسخة من قبول الدحض على الرياضيات نفسها.<ref>[[إمري لاكاتوس]] (1976), ''[[Proofs and Refutations]]''. Cambridge: Cambridge University Press.</ref><ref>{{استشهاد ويب|مسار=http://hps.elte.hu/~kutrovatz/LakatosEng.pdf |عنوان=Gábor Kutrovátz, "Imre Lakatos's Philosophy of Mathematics" |صيغة=PDF |تاريخ= |تاريخ الوصول=2018-05-08| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180713002844/http://hps.elte.hu:80/~kutrovatz/LakatosEng.pdf | تاريخ أرشيف = 13 يوليو 2018 }}</ref>

وجهة نظر بديلة هي أن بعض المجالات العلمية (مثل [[فيزياء نظرية|الفيزياء النظرية]]) هي رياضيات مع البديهيات التي تهدف إلى تتوافق مع الواقع. تشترك الرياضيات كثيرًا في العديد من المجالات في [[علوم فيزيائية|العلوم الفيزيائية]]، لا سيما استكشاف النتائج المنطقية للافتراضات. يلعب الحدس والتجريب أيضًا دورًا في صياغة التخمينات في كل من الرياضيات وال[[علم|علوم]] الأخرى. تستمر [[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التجريبية]] في الأهمية داخل الرياضيات، ويلعب الحساب و[[محاكاة بالحاسوب|المحاكاة]] دورًا متزايدًا في كل من العلوم والرياضيات.

تتنوع آراء علماء الرياضيات حول هذه المسألة. يشعر العديد من علماء الرياضيات{{للهامش|12}} أن تسمية منطقتهم بالعلم هو التقليل من أهمية جانبها الجمالي، وتاريخها في الفنون الليبرالية التقليدية السبعة؛ يشعر الآخرون أن تجاهل علاقتها بالعلوم هو غض الطرف عن حقيقة أن العلاقة بين الرياضيات وتطبيقاتها في ال[[علم|علوم]] وال[[هندسة]] دفعت الكثير من التطور في الرياضيات. إحدى الطرق التي يلعب بها هذا الاختلاف في وجهات النظر هي النقاش الفلسفي حول ما إذا كان يتم إنشاء الرياضيات (كما في ال[[فن]]) أو اكتشافها (كما في ال[[علم|علوم]]). من الشائع رؤية الجامعات مقسمة إلى أقسام تتضمن تقسيمًا للعلوم والرياضيات، مما يشير إلى أن الحقول ينظر إليها على أنها متحالفة ولكنها لا تتزامن. في الممارسة العملية، يتم تجميع علماء الرياضيات عادة مع العلماء على المستوى الإجمالي ولكن يتم فصلهم في مستويات أدق. هذا هو واحد من العديد من القضايا التي تتناولها [[فلسفة الرياضيات]].

== الرياضيات البحتة والتطبيقية، وعلم الجمال ==
{{مفصلة|جمال رياضياتي}}
{{عدة صور|caption_align=center|header_align=center
 | align = left
 | image1 = GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg
 | width1 = 143
 | alt1 =
 | caption1 =
 | image2 = Gottfried Wilhelm Leibniz, Bernhard Christoph Francke.jpg
 | width2 = 157
 | alt2 =  
 | caption2  =
 | footer = {{وسط|طور [[إسحاق نيوتن]] (يمين) و[[غوتفريد لايبنتس]] (يسار) [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]].}}
}}
تنشأ الرياضيات من العديد من أنواع المسائل المختلفة. في البداية وجدت هذه في ال[[تجارة]]، وقياس الأراضي، و[[عمارة|الهندسة المعمارية]] و[[علم الفلك]] في وقت لاحق؛ اليوم، تشير جميع العلوم إلى المسائل التي يدرسها علماء الرياضيات، وتنشأ العديد من المسائل داخل الرياضيات نفسها. على سبيل المثال، اخترع الفيزيائي [[ريتشارد فاينمان]] صياغة متكاملة ل[[ميكانيكا الكم]] باستخدام مزيج من المنطق الرياضي والبصيرة الفيزيائية، وهناك [[نظرية الأوتار]] أيضًا، وهي [[نظرية علمية]] لا تزال قيد التطور تحاول توحيد [[قوة أساسية|القوى الأساسية الأربعة]] للطبيعة، لا تزال تلهم المزيد من التطوير في الرياضيات الجديدة.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة |عنوان=The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus |صحيفة=Physics Today |المجلد=54 |العدد=8 |صفحة=48 |مؤلف=Meinhard E. Mayer |سنة=2001 |bibcode=2001PhT....54h..48J |doi=10.1063/1.1404851}}</ref>

بعض [[مجالات الرياضيات]] ذات صلة فقط في المجال الذي تتعامل معه، ويتم تطبيقها لحل المزيد من المسائل في هذا المجال. ولكن غالبًا ما تثبت الرياضيات المستوحاة من مجال واحد أنها مفيدة في العديد من المجالات، وتنضم إلى المجموعة العامة من المفاهيم الرياضية. غالبًا ما يتم التمييز بين [[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]] و[[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]]. ومع ذلك، غالبًا ما تتحول موضوعات الرياضيات البحتة إلى تطبيقات، على سبيل المثال [[نظرية الأعداد]] في ال[[تعمية|تشفير]]. هذه الحقيقة الرائعة، وهي أن الرياضيات «البحتة» غالبًا ما تتحول إلى تطبيقات عملية، هو ما أسماه [[يوجين ويغنر]] «الفعالية غير المعقولة للرياضيات».<ref name=wigner1960>{{استشهاد بدورية محكمة |الأخير=Wigner |الأول=Eugene |سنة=1960 |عنوان=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |مسار=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |صحيفة=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |المجلد=13 |العدد=1 |صفحات=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102  |bibcode=1960CPAM...13....1W |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |تاريخ أرشيف=February 28, 2011 |df=mdy-all |حالة المسار=live}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190826034501/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |date=26 أغسطس 2019|العنوان=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences<!-- عنوان مولد بالبوت -->|تاريخ الوصول=2022-04-26}}</ref> كما هو الحال في معظم مجالات الدراسة، أدى انفجار المعرفة في العصر العلمي إلى التخصص؛ حيث يوجد الآن المئات من المجالات المتخصصة في الرياضيات وأحدث تصنيف لمواد الرياضيات يصل إلى 46 صفحة.<ref>{{استشهاد ويب |مسار=https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |عنوان=Mathematics Subject Classification 2010 |صيغة=PDF |تاريخ= |تاريخ الوصول=9 نوفمبر 2010 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20110514091144/http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |تاريخ أرشيف=May 14, 2011 |df=mdy-all |حالة المسار=live}}</ref> دمجت العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية مع التقاليد ذات الصلة خارج الرياضيات وأصبحت التخصصات في حد ذاتها، بما في ذلك [[إحصاء|الإحصاءات]]، وبحوث العمليات، و[[علم الحاسوب|علوم الحاسوب]].

بالنسبة لأولئك الذين يميلون رياضيا، غالبا ما يكون هناك جانب جمالي محدد لكثير من الرياضيات. يتحدث العديد من علماء الرياضيات عن أناقة الرياضيات، و[[فلسفة الجمال|علم الجمال]] الداخلي والجمال الداخلي. تقدر البساطة والعمومية. هناك جمال في دليل بسيط وأنيق، مثل دليل [[إقليدس]] على وجود عدد لا نهائي من [[عدد أولي|الأعداد الأولية]]، وبأسلوب عددي أنيق يسرع الحساب، مثل [[تحويل فورييه]] السريع. أعرب [[غودفري هارولد هاردي]] في مقالته [[دفاع رياضياتي]] عن اعتقاده بأن هذه الاعتبارات الجمالية كافية بحد ذاتها لتبرير دراسة [[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]]. حدد معايير مثل الأهمية وعدم اليقين والحتمية والاقتصاد كعوامل تسهم في جمالية رياضية.<ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=A Mathematician's Apology |مؤلف=Hardy, G. H. |ناشر=Cambridge University Press |سنة=1940 |isbn=978-0-521-42706-7}}</ref> غالبًا ما يبحث البحث الرياضي عن ميزات مهمة لكائن رياضي. إن النظرية التي يتم التعبير عنها كتوصيف للكائن بهذه الميزات هي الجائزة.

شعبية [[رياضيات مسلية|الرياضيات المسلية]] سواء في حل الألغاز الرياضية أو الألعاب. هي علامة أخرى على المتعة التي يجدها الكثيرون في حل الأسئلة الرياضية. وعلى الطرف الاجتماعي الآخر، لا يزال الفلاسفة يجدون مسائل في فلسفة الرياضيات، مثل طبيعة [[برهان رياضي|البرهان الرياضي]].<ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |مؤلف1=Gold, Bonnie|مؤلف1-وصلة=Bonnie Gold |مؤلف2=Simons, Rogers A. |ناشر=MAA |سنة=2008}}</ref>

== التدوين الرياضي، والدقة ==
{{مفصلة|ترميز رياضي}}
[[ملف:Leonhard Euler 2.jpg|250px|تصغير|يسار|قام [[ليونهارت أويلر]] بإنشاء وتعميم الكثير من الرموز الرياضية المستخدمة اليوم.]]
معظم الرموز الرياضية المستخدمة اليوم لم يتم اختراعها حتى [[القرن 16|القرن السادس عشر]].<ref>{{استشهاد ويب |مسار=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |عنوان=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |ناشر= |تاريخ الوصول=14 سبتمبر 2014 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |تاريخ أرشيف=February 20, 2016 |df=mdy-all |حالة المسار=live}}</ref> قبل ذلك، تم كتابة الرياضيات بالكلمات، مما يحد من الاكتشافات الرياضية.<ref>Kline, p. 140, on [[ديوفانتوس الإسكندري]]؛ p. 261, on [[فرانسوا فييت]].</ref> كان [[ليونهارت أويلر|أويلر]] (1707-1783) مسؤولًا عن العديد من الرموز المستخدمة اليوم. التدوين الحديث يجعل الرياضيات أسهل بكثير بالنسبة للمحترفين، ولكن المبتدئين غالبا ما يجدونها شاقة. وفقا لباربرا أوكلي، يمكن أن يعزى ذلك إلى حقيقة أن الأفكار الرياضية هي أكثر تجريدية وأكثر تشفيرًا من أفكار اللغة الطبيعية.{{للهامش|6}} على عكس اللغة الطبيعية، حيث يمكن للناس في كثير من الأحيان مساواة كلمة (مثل الشجرة) مع الشيء المادي الذي تقابله، فإن الرموز الرياضية مجردة، وتفتقر إلى أي تناظرية مادية.{{للهامش|7}} الرموز الرياضية مشفرة أيضًا بدرجة أكبر من الكلمات العادية، مما يعني أن الرمز الواحد يمكن أن يشفر عددًا من العمليات أو الأفكار المختلفة.{{للهامش|8}}

قد يصعب فهم اللغة الرياضية بالنسبة للمبتدئين لأن المصطلحات الشائعة، مثل أو فقط، لها معنى أكثر دقة من المصطلحات المستخدمة في الكلام اليومي، بينما تشير المصطلحات الأخرى مثل «فتح» و«حقل» إلى أفكار رياضية محددة، لا تغطيها معاني العلمانيين. تتضمن اللغة الرياضية أيضًا العديد من المصطلحات الفنية مثل التجانس التماثلي والتكامل الذي لا معنى له خارج الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك، تنتمي العبارات المختصرة مثل "iff" ل«[[إذا وفقط إذا]]» إلى المصطلحات الرياضية. هناك سبب للتدوين الخاص والمفردات الفنية: تتطلب الرياضيات دقة أكثر من الكلام اليومي. يشير علماء الرياضيات إلى هذه الدقة في اللغة والمنطق باسم «[[صرامة|الصرامة]]».

البرهان الرياضي هو في الأساس مسألة صرامة. يريد علماء الرياضيات أن تتبع نظرياتهم من البديهيات عن طريق التفكير المنهجي. هذا هو تجنب «النظريات» الخاطئة، القائمة على الحدس الخاطئ، والتي حدثت العديد من الحالات في تاريخ الموضوع. تباين مستوى الصرامة المتوقعة في الرياضيات بمرور الوقت: توقع اليونانيون حججًا مفصلة، لكن في زمن [[إسحاق نيوتن]] كانت الأساليب المستخدمة أقل صرامة. المشاكل الكامنة في التعاريف التي يستخدمها نيوتن ستؤدي إلى عودة التحليل الدقيق والدليل الرسمي في [[القرن 19|القرن التاسع عشر]]. سوء الفهم للدقة هو سبب لبعض المفاهيم الخاطئة الشائعة في الرياضيات. اليوم، يواصل علماء الرياضيات الجدال فيما بينهم حول البراهين المدعومة ب[[حاسوب|الحاسوب]]. نظرًا لأنه يصعب التحقق من الحسابات الكبيرة، فقد لا تكون هذه الأدلة دقيقة بدرجة كافية.{{للهامش|9}}

البديهيات في الفكر التقليدي كانت «حقائق بديهية»، ولكن هذا المفهوم إشكالي. على المستوى الرسمي، البديهية هي مجرد سلسلة من الرموز، التي لها معنى جوهري فقط في سياق جميع الصيغ المشتقة من نظام البديهية. كان هدف [[برنامج هيلبرت]] وضع جميع الرياضيات على أساس بديهي ثابت، ولكن وفقًا ل[[مبرهنات عدم الاكتمال لغودل]]، كل نظام بديهي (قوي بما فيه الكفاية) له صيغ غير قابلة للبرهان؛ وبالتالي فإن البديهية النهائية للرياضيات أمر مستحيل. ومع ذلك، غالبًا ما يُتخيل أن الرياضيات (بقدر محتواها الرسمي) ليست سوى نظرية ثابتة في بعض البديهيات، بمعنى أن كل بيان رياضي أو دليل يمكن أن يُطرح في صيغ ضمن [[نظرية المجموعات]].{{للهامش|10}}

== مجالات الرياضيات ==
[[ملف:Abacus 6.png|250px|تصغير|يسار|ال[[معداد]]، آلة حساب بسيطة تستعمل منذ القدم.]]
وبشكل عام، يمكن تقسيم الرياضيات إلى دراسة ال[[كمية]] و[[بنية رياضية|البنية]] وال[[فضاء رياضي|فضاء]] وال[[تفاضل وتكامل|تغيير]] (أي ال[[حساب]] وال[[جبر]] وال[[هندسة رياضية|هندسة]] وال[[تحليل رياضي|تحليل]]). بالإضافة إلى هذه الشواغل الرئيسية، هناك أيضًا أقسام فرعية مخصصة لاستكشاف الروابط من الرياضيات البحتة إلى مجالات أخرى: إلى ال[[المنطق|منطق]]، و[[نظرية المجموعات]] ([[أسس الرياضيات|الأسس]])، والرياضيات التجريبية لمختلف ال[[علم|علوم]] ([[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]])، ومؤخرًا لدراسة صارمة لمواضيع ال[[ارتياب]]. على الرغم من أن بعض المواضيع قد تبدو غير ذات صلة، فقد وجد [[روبرت لانجلاندس|برنامج لانجلاندز]] روابط بين المواضيع التي كان يعتقد في السابق أنها غير مرتبطة، مثل [[زمرة غالوا]]، و[[سطح ريمان]] و[[نظرية الأعداد]].

أيضا تجمع [[رياضيات متقطعة|الرياضيات المتقطعة]] بشكل تقليدي مجالات الرياضيات التي تدرس [[بنية رياضية|الهياكل الرياضية]] المنفصلة بشكل أساسي بدلاً من الاتصال المستمر.<ref>[http://jhupbooks.press.jhu.edu/ecom/MasterServlet/GetItemDetailsHandler?iN=9780801866890&qty=1&viewMode=1&loggedIN=false&JavaScript=y Graphs on Surfaces], [[Bojan Mohar]] and [[Carsten Thomassen]], Johns Hopkins University press, 2001 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100611224850/http://jhupbooks.press.jhu.edu/ecom/MasterServlet/GetItemDetailsHandler?iN=9780801866890&qty=1&viewMode=1&loggedIN=false&JavaScript=y |date=11 يونيو 2010}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب| مؤلف = Samuel R. Buss| عنوان = Handbook of Proof Theory| مسار = https://books.google.com/?id=MfTMDeCq7ukC&pg=PA13| سنة = 1998| ناشر = Elsevier| isbn = 978-0-444-89840-1| صفحة = 13 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200127072515/https://books.google.com/?id=MfTMDeCq7ukC&pg=PA13|تاريخ أرشيف=2020-01-27}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة | citeseerx = 10.1.1.111.1105 | عنوان = Cyclic proofs of program termination in separation logic | مؤلف1-الأول = J. | مؤلف1-الأخير = Brotherston | مؤلف2-الأول = R. | مؤلف2-الأخير = Bornat | مؤلف3-الأول = C. | مؤلف3-الأخير = Calcagno | صحيفة = ACM SIGPLAN Notices | المجلد = 43 | العدد = 1 |تاريخ=January 2008 | doi = 10.1145/1328897.1328453 }}</ref>

=== أسس وفلسفة الرياضيات ===
{{مفصلة|أسس الرياضيات|فلسفة الرياضيات}}
من أجل توضيح [[أسس الرياضيات]]، تم تطوير مجالات [[منطق رياضي|المنطق الرياضي]] و[[نظرية المجموعات]]. يتضمن [[منطق رياضي|المنطق الرياضي]] الدراسة الرياضية لل[[المنطق|منطق]] وتطبيقات المنطق الرسمي في مجالات أخرى من الرياضيات؛ [[نظرية المجموعات]] هي فرع الرياضيات الذي يدرس مجموعات أو مجموعات من الأشياء. [[نظرية الفئة|نظرية الأصناف]]، التي تتعامل بطريقة مجردة مع الهياكل الرياضية والعلاقات بينهما، لا تزال قيد التطوير. تصف عبارة «أزمة الأسس» البحث عن أساس صارم للرياضيات التي حدثت في الفترة من عام [[1900]] إلى [[1930]] تقريبًا.<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref> يستمر بعض الخلاف حول أسس الرياضيات حتى يومنا هذا. تم حفز أزمة المؤسسات من قبل عدد من الخلافات في ذلك الوقت، بما في ذلك الجدل حول [[مبرهنة كانتور]] وجدل بروير-هيلبرت.

يهتم [[منطق رياضي|المنطق الرياضي]] بإعداد الرياضيات ضمن إطار بديهي صارم، ودراسة الآثار المترتبة على هذا الإطار. على هذا النحو، تعد موطنًا ل[[مبرهنات عدم الاكتمال لغودل]] التي تعني -بشكل غير رسمي- (أن أي نظرية مولدة بشكل كفء قادرة على التعبير عن الحساب الابتدائي لا يمكن أن تكون كاملة وراسخة في وقت واحد. على وجه الخصوص، من أجل أي نظرية راسخة مولدة بشكل كفء والتي تبرهن حقيقة حسابية بسيطة، فإنه يوجد عبارة حسابية تكون محققة ولكنها غير مبرهنة بالنظرية). فقد أوضح غودل كيفية بناء بيان رسمي يمثل حقيقة نظرية للأعداد، ولكنه لا يتبع تلك البديهيات. لذلك، لا يوجد نظام رسمي هو البديهية الكاملة لنظرية الأعداد الكاملة. ينقسم المنطق الحديث إلى [[نظرية الحاسوبية]]، [[نظرية النموذج]]، و[[نظرية البرهان]]، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا ب[[علم الحاسوب|علوم الحاسوب]] النظرية، وكذلك ب[[نظرية الفئة|نظرية الأصناف]]. في سياق [[نظرية الحاسوبية]].

تتضمن [[علم الحاسوب|علوم الحاسوب]] النظرية [[نظرية الحوسبة]] و[[نظرية التعقيد الحسابي]] و[[نظرية المعلومات]]. تبحث [[نظرية الحوسبة]] في قيود النماذج النظرية المختلفة لل[[حاسوب]]، بما في ذلك النموذج الأكثر شهرة ([[آلة تورنغ]]). [[نظرية التعقيد الحسابي]] هي دراسة قابلية التتبع بواسطة الحاسوب؛ بعض المسائل، على الرغم من أنها قابلة للحل من الناحية النظرية بواسطة الحاسوب، فهي مكلفة للغاية من حيث الوقت أو المساحة بحيث يحتمل أن تظل حلها غير ممكنة من الناحية العملية، حتى مع التقدم السريع لأجهزة الحاسوب. والمسألة الشهيرة هي «[[مسألة كثير حدود وكثير حدود غير قطعي|مسألة P = NP]]؟»، واحدة من [[جائزة مسائل الألفية]].<ref>[https://web.archive.org/web/20130704074148/http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute], P=NP, claymath.org {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171208233946/http://www.webcitation.org/5Qj76uCbF?url=http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ |date=08 ديسمبر 2017}}</ref> أخيرًا، تهتم [[نظرية المعلومات]] بكمية البيانات التي يمكن تخزينها على وسيط معين، وبالتالي تتعامل مع مفاهيم مثل ال[[ضغط]] و[[اعتلاج (نظرية المعلومات)|الاعتلاج]].

:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|<math>p \Rightarrow q </math>|| [[ملف:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[ملف:Commutative diagram for morphism.svg|96px]] || [[ملف:DFAexample.svg|96px]]
|-
|[[منطق رياضي]] || [[نظرية المجموعات]] || [[نظرية الفئة|نظرية الأصناف]] || [[نظرية الحوسبة]]
|}

=== الرياضيات البحتة ===
{{مفصلة|رياضيات بحتة}}
تعنى [[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]] بدراسة الرياضيات من ناحية مجردة (أي من دون التطرق للفوائد و[[رياضيات تطبيقية|التطبيقات الرياضية]]) بالرغم أن الرياضيات البحتة كانت تمارس في [[اليونان القديمة]] إلا أن تطور الرياضيات البحتة بدأ منذ عام 1900 عند إدخال نظريات بخصائص غير بديهية (مثل [[هندسة لاإقليدية|الهندسة غير الإقليدية]] و[[مبرهنة كانتور|نظرية كانتور]] للمجموعات اللانهائية).<ref>{{MacTutor Biography|id=Sadleirian_Professors|title=Sadleirian Professors|last=Piaggio|first=H. T. H.|class=Extras}}</ref> أهم مجالات دراسة الرياضيات البحتة تأتي في مفهوم الكمية وال[[حسابيات]]، ال[[جبر]]، الفضاء الرياضي ([[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]])، التغير و[[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]].
==== الكمية ====
{{مفصلة|حسابيات}}
تبدأ دراسة ال[[كمية]] ب[[عدد|الأعداد]]، أولًا [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] المألوفة و[[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] والعمليات الحسابية عليها، والتي تتميز بحسابها. تتم دراسة الخصائص الأعمق للأعداد الصحيحة في [[نظرية الأعداد]]، والتي تأتي منها نتائج شعبية مثل [[مبرهنة فيرما الأخيرة]]. التخمين الأول والثاني ل[[حدسية غولدباخ]] مسألتان لم تحل في [[نظرية الأعداد]].

كما تم تطوير نظام الأعداد، يتم التعرف على [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] كمجموعة فرعية من الأرقام المنطقية («ال[[كسر (رياضيات)|كسور]]»). هذه، بدورها، ترد في [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]]، والتي تستخدم لتمثيل كميات مستمرة. [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] يتم تعميمها على [[عدد مركب|الأعداد العقدية]]. هذه هي الخطوات الأولى لتسلسل هرمي من الأرقام يمتد ليشمل ال[[كواتيرنيون]] وال[[أوكتونيون]]. يؤدي النظر في الأعداد الطبيعية أيضًا إلى الأرقام المنقولة، والتي تضفي الطابع الرسمي على مفهوم «[[لانهاية|اللانهاية]]». وفقًا [[المبرهنة الأساسية في الجبر|للنظرية الأساسية للجبر]]، فإن كل [[متعددة الحدود|كثير حدود]] من الدرجة الأولى فما فوق (أي أنها ليست [[دالة ثابتة]]) ذات متغير واحد، بمعاملات من [[فئة (رياضيات)|فئة]] [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] <math>\mathbb C</math>؛ لها على الأقل [[جذر دالة|جذر]] واحد في <math>\mathbb C</math>.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=22111 | عنوان = معلومات عن المبرهنة الأساسية في الجبر على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it | ناشر = thes.bncf.firenze.sbn.it| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190401144659/https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=22111 | تاريخ أرشيف = 1 أبريل 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofAlgebra.html | عنوان = معلومات عن المبرهنة الأساسية في الجبر على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180912135929/http://mathworld.wolfram.com:80/FundamentalTheoremofAlgebra.html | تاريخ أرشيف = 12 سبتمبر 2018 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre-theoreme-de-d-alembert/ | عنوان = معلومات عن المبرهنة الأساسية في الجبر على موقع universalis.fr | ناشر = universalis.fr| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170627004806/http://www.universalis.fr:80/encyclopedie/algebre-theoreme-de-d-alembert/ | تاريخ أرشيف = 27 يونيو 2017 }}</ref> بصيغة أخرى مجموعة [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] <math>\mathbb C</math> هي [[حقل مغلق جبريا|مغلقة جبريا]]. مجال الدراسة الآخر هو حجم المجموعات، الموصوف بالأرقام الأساسية. وتشمل هذه [[أعداد أليف]]، والتي تتيح مقارنة ذات مغزى لحجم مجموعات كبيرة بلا حدود.
{| Style="border:1px solid #999; text-align:center; align:center;" align="center" cellspacing="20"
| <math>1, 2, \ldots</math>
| |<math>0, 1, -1, \ldots</math>
| |<math>\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots</math>
|-
| [[عدد طبيعي|أعداد طبيعية]] || [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]] || [[كسر (رياضيات)|أعداد كسرية]] ||
|-
| |<math>\pi, e, \sqrt{2},\ldots</math>
| |<math>i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots</math>
| |<math>\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_{\alpha}, \ldots.\ </math>
|-
| [[عدد حقيقي|أعداد حقيقية]] || [[عدد مركب|أعداد عقدية]] || [[عدد أصلي|أعداد أصلية غير منتهية]]
|}

==== البنية ====
{{مفصلة|جبر}}
تعرض العديد من الكائنات الرياضية، مثل مجموعات الأرقام والوظائف، بنية داخلية كنتيجة للعمليات أو العلاقات المحددة في المجموعة. ثم تدرس الرياضيات خصائص تلك المجموعات التي يمكن التعبير عنها من حيث هذا الهيكل؛ على سبيل المثال، تدرس [[نظرية الأعداد]] خصائص مجموعة [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] التي يمكن التعبير عنها من حيث العمليات الحسابية. علاوة على ذلك، يحدث في كثير من الأحيان أن هذه المجموعات (أو الهياكل) المختلفة تظهر خصائص متشابهة، مما يجعل من الممكن، من خلال خطوة أخرى من التجريد، تحديد البديهيات لفئة من الهياكل، ثم دراسة دفعة واحدة كاملة من الهياكل التي توافق هذه البديهيات. وهكذا يمكن للمرء دراسة المجموعات والحلقات والحقول والأنظمة التجريدية الأخرى معا؛ مثل هذه الدراسات (للهياكل التي تحددها العمليات الجبرية) تشكل مجال [[جبر مجرد|الجبر التجريدي]].<ref>{{استشهاد | مؤلف1-الأخير=Allenby | مؤلف1-الأول=R. B. J. T. | عنوان=Rings, Fields and Groups | ناشر=Butterworth-Heinemann | isbn=978-0-340-54440-2 | سنة=1991}}</ref>

بحكم عمومية كبيرة، يمكن في كثير من الأحيان تطبيق [[جبر مجرد|الجبر التجريدي]] على المسائل التي تبدو غير ذات صلة. على سبيل المثال، تم حل عدد من المسائل القديمة المتعلقة ببناء البوصلة والبسط باستخدام [[نظرية غالوا]]، والتي تتضمن نظرية المجال ونظرية المجموعة. مثال آخر لنظرية الجبر هو [[جبر خطي|الجبر الخطي]]، وهو الدراسة العامة لمساحات المتجهات، التي تحتوي عناصرها المتجهات على كمية واتجاه، ويمكن استخدامها لنمذجة العلاقات بين نقاط في ال[[فضاء متجهي|فضاء]]. هذا مثال على الظاهرة المتمثلة في أن المناطق غير المرتبطة أصلًا في ال[[هندسة رياضية|هندسة]] وال[[جبر]] لها تفاعلات قوية للغاية في الرياضيات الحديثة. ال[[تركيبات|توافقيات]] يدرس طرق تعداد عدد [[كائن رياضي|الكائنات]] التي تناسب بنية معينة.
:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|<math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[ملف:Elliptic curve simple.svg|96بك]] || [[ملف:Rubik's cube.svg|96بك]] || [[ملف:Group diagdram D6.svg|96بك]] || [[ملف:Lattice of the divisibility of 60.svg|96بك]] || [[ملف:Braid-modular-group-cover.svg|96بك]]
|-
|ال[[تركيبات|توافقيات]] || [[نظرية الأعداد]] || [[نظرية الزمر]] || [[نظرية البيان|نظرية المخططات]] || [[نظرية الترتيب]] || ال[[جبر]]
|}

==== الفضاء ====
{{مفصلة|هندسة رياضية}}
تنبثق دراسة ال[[فضاء رياضي|فضاء]] بال[[هندسة رياضية|هندسة]] (بشكل خاص)، [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]]، التي تجمع بين الفضاء والأعداد، وتشمل [[مبرهنة فيثاغورس|نظرية فيثاغورس]] المعروفة. [[حساب المثلثات|علم المثلثات]] هو فرع الرياضيات الذي يتعامل مع العلاقات بين الجانبين وزوايا المثلثات والوظائف المثلثية. تعمم الدراسة الحديثة للفضاء هذه الأفكار لتشمل هندسة الأبعاد العليا، و[[هندسة لاإقليدية|الهندسة غير الإقليدية]] (التي تلعب دورًا رئيسيًا في [[النسبية العامة]]) وال[[طوبولوجيا]]. تلعب كل من المساحة والكم دورًا في [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]] و[[هندسة تفاضلية|الهندسة التفاضلية]] و[[هندسة جبرية|الهندسة الجبرية]]. تم تطوير [[هندسة محدبة|الهندسة المحدبة]] و[[هندسة متقطعة|الهندسة المتقطعة]] لحل المسائل في [[نظرية الأعداد]] و[[تحليل دالي|التحليل الدالي]] ولكن يتم الآن متابعتها مع التطبيقات في التحسين و[[علم الحاسوب|علوم الحاسوب]]. ضمن [[هندسة تفاضلية|الهندسة التفاضلية]] توجد مفاهيم [[حزمة ليفية|حزم الألياف]] و[[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]] على [[متعدد شعب|متعدد الشعب]]، على وجه الخصوص، [[حساب المتجهات|التفاضل الشعاعي]] و[[موتر|الموتر]]. داخل [[هندسة جبرية|الهندسة الجبرية]]، وصف الكائنات الهندسية كمجموعات حل لمعادلات متعددة الحدود، تجمع بين مفاهيم الكمية والفضاء، وكذلك دراسة المجموعات الطوبولوجية التي تجمع بين الهيكل والفضاء. تستخدم [[زمرة لي|زمرة لاي]] لدراسة الفضاء والبنية والتغيير. ال[[طوبولوجيا]] في جميع تداعياتها العديدة ربما كانت أكبر منطقة نمو في الرياضيات في القرن العشرين؛ ويشمل طوبولوجيا مجموعة النقاط، طوبولوجيا نظرية المجموعة، [[طوبولوجيا جبرية]] و[[طوبولوجيا تفاضلية]]. على وجه الخصوص، حالات طوبولوجيا العصر الحديث هي نظرية ميتريزيشن، نظرية المجموعات البديهية، [[مثلية التوضع]]، ونظرية مورس. تتضمن ال[[طوبولوجيا]] أيضًا [[حدسية بوانكاريه]] التي تم حلها مؤخرا،<ref>{{استشهاد ويب | مسار = http://www.math.stonybrook.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf | عنوان = The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report | تاريخ الوصول=2007-05-05 | الأخير = Milnor |الأول = John |مؤلف-وصلة = John Milnor | تاريخ = 2004 | صيغة = PDF | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20120725184427/http://www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf | تاريخ أرشيف = 25 يوليو 2012 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب
 | عنوان = The Poincaré Conjecture
 | مسار= http://www.claymath.org/poincare/index.html| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20130727010819/http://www.claymath.org/poincare/index.html | تاريخ أرشيف = 27 يوليو 2013 |حالة المسار=dead}}</ref> والمناطق التي لم يتم حلها بعد من [[حدسية هودج]]. النتائج الأخرى في الهندسة والطوبولوجيا، بما في ذلك [[مبرهنة الألوان الأربعة]] و[[حدسية كيبلر]]، قد ثبت فقط بمساعدة أجهزة الحاسوب.
:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|[[ملف:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96بك]] || [[ملف:Sinusvåg 400px.png|96بك]] || [[ملف:Hyperbolic triangle.svg|96بك]] || [[ملف:Torus.png|96بك]] || [[ملف:Mandel zoom 07 satellite.jpg|96بك]] || [[ملف:Measure illustration.png|70بك]]
|-
|[[هندسة رياضية]] || [[حساب المثلثات]] || [[هندسة تفاضلية]] || [[طوبولوجيا]] || [[كسيرة|هندسة كسيرية]] || [[قياس (رياضيات)|نظرية القياس]]
|}

==== التغير ====
{{مفصلة|تفاضل وتكامل}}
يعد فهم التغيير ووصفه موضوعًا شائعًا في [[علوم طبيعية|العلوم الطبيعية]]، وقد تم تطوير [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]] كأداة للتحقيق فيه. تنشأ وظائفه هنا، كمفهوم مركزي يصف كمية متغيرة. تُعرف الدراسة الدقيقة للأعداد الحقيقية ووظائف المتغير الحقيقي ب[[تحليل حقيقي|التحليل الحقيقي]]، مع [[تحليل عقدي|التحليل المركب]] للحقل المكافئ للأعداد المركبة. يركز التحليل الوظيفي الانتباه على مسافات الوظائف (عادة غير محدودة الأبعاد). واحدة من العديد من تطبيقات [[تحليل دالي|التحليل الدالي]] هي [[ميكانيكا الكم]]. تؤدي العديد من المسائل بشكل طبيعي إلى العلاقات بين كمية ما ومعدل التغير، ويتم دراستها على أنها [[معادلة تفاضلية|معادلات تفاضلية]]. يمكن وصف العديد من الظواهر في الطبيعة بواسطة الأنظمة الديناميكية؛ تعمل [[نظرية فوضى الكون|نظرية الفوضى]] على تحديد الطرق التي تظهر بها العديد من هذه الأنظمة سلوكًا لا يمكن التنبؤ به ولكنه لا يزال محددًا.<ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://mathvault.ca/math-glossary/#chaos|عنوان=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Chaos|الأخير=|الأول=|تاريخ=2019-08-01|موقع=Math Vault|لغة=en-US|تاريخ الوصول=2019-11-24| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201014065226/https://mathvault.ca/math-glossary/#chaos | تاريخ أرشيف = 14 أكتوبر 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://www.britannica.com/science/chaos-theory|عنوان=chaos theory {{!}} Definition & Facts|موقع=Encyclopedia Britannica|لغة=en|تاريخ الوصول=2019-11-24| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201006223900/https://www.britannica.com/science/chaos-theory | تاريخ أرشيف = 6 أكتوبر 2020 }}</ref>
{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
|-
|[[ملف:Integral as region under curve.svg|96بك]] || [[ملف:Vector field.svg|96بك]] || [[ملف:Navier Stokes Laminar.svg|96بك]] || [[ملف:Limitcycle.svg|96بك]] || [[ملف:Lorenz attractor.svg|96بك]] || [[ملف:Conformal grid after Möbius transformation.svg|96بك]]
|-
|[[تفاضل وتكامل]] || [[حساب المتجهات|تفاضل شعاعي]]|| [[معادلة تفاضلية]] || [[نظام تحريكي]] ||[[نظرية فوضى الكون|نظرية الشواش]]||[[تحليل عقدي|تحليل مركب]]
|}

=== الرياضيات التطبيقية ===
{{مفصلة|رياضيات تطبيقية}}
تهتم [[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]] بالطرق الرياضية التي تستخدم عادة في ال[[علم|علوم]] وال[[هندسة]] و[[عمل تجاري|الأعمال]] و[[اقتصاد (علم)|الاقتصاد]]<ref>Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics/Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright. Boston, Mass.: McGraw-Hill/Irwin,.</ref><ref>Na, N. (2016). Mathematical economics. Springer.</ref><ref>Lancaster, K. (2012). Mathematical economics. Courier Corporation.</ref> وال[[صناعة]]. وهكذا، «[[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]]» هي علم الرياضيات مع المعرفة المتخصصة. يصف مصطلح الرياضيات التطبيقية أيضًا التخصص المهني الذي يعمل فيه علماء الرياضيات على حل المسائل العملية؛ كمهنة تركز على المسائل العملية، تركز الرياضيات التطبيقية على «صياغة ودراسة واستخدام النماذج الرياضية» في ال[[علم|علوم]] وال[[هندسة]] وغيرها من مجالات الممارسة الرياضية.

في الماضي، حفزت التطبيقات العملية على تطوير نظريات رياضية، والتي أصبحت بعد ذلك موضوع الدراسة في [[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]]، حيث يتم تطوير الرياضيات في المقام الأول من أجلها. وهكذا، يرتبط نشاط الرياضيات التطبيقية ارتباطًا حيويًا بالبحث في [[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]].
==== الإحصاء وعلوم أخرى مساعدة على اتخاد القرارات ====
{{مفصلة|إحصاء}}
تتداخل [[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]] بشكل كبير مع مجال [[إحصاء|الإحصاء]]، حيث تصاغ نظريته رياضيا، خاصة مع [[نظرية الاحتمال]]ات. يقوم الإحصائيون «بإنشاء بيانات منطقية» من خلال أخذ عينات عشوائية وتجارب عشوائية؛<ref>{{Ill-WD2|Rao, C.R.|id=Q711237}} (1997) ''Statistics and Truth: Putting Chance to Work'', World Scientific. {{ردمك|981-02-3111-3}}</ref> يحدد تصميم العينة أو التجربة الإحصائية تحليل البيانات (قبل أن تتوفر البيانات). عند إعادة النظر في البيانات من التجارب والعينات أو عند تحليل البيانات من الدراسات القائمة على الملاحظة، فإن الإحصائيين «يفهمون البيانات» باستخدام فن النمذجة و[[استدلال إحصائي|نظرية الاستدلال]] مع اختيار النموذج وتقديره؛ يجب اختبار النماذج المقدرة والتوقعات المترتبة على البيانات الجديدة.

تدرس النظرية الإحصائية مشاكل اتخاذ القرار، مثل التقليل إلى الحد الأدنى (من الخسارة المتوقعة) في إجراء إحصائي، مثل استخدام إجراء، على سبيل المثال، اختبار الفرضيات، واختيار الأفضل. في هذه المجالات التقليدية للإحصاءات الرياضية، تتم صياغة مشكلة القرار الإحصائي عن طريق تقليل دالة موضوعية، مثل الخسارة أو التكلفة المتوقعة، في ظل قيود محددة: على سبيل المثال، ينطوي تصميم [[استقصاء إحصائي|الاستقصاء]] في كثير من الأحيان على تقليل تكلفة تقدير متوسط عدد السكان باستخدام محدد معين.<ref name="RaoOpt">{{استشهاد بكتاب |محرر1-الأخير=Arthanari |محرر1-الأول=T.S. |محرر2-الأخير=Dodge |محرر2-الأول=Yadolah |محرر2-وصلة=Yadolah Dodge |الأخير=Rao |الأول=C.R. |مؤلف-وصلة=C.R. Rao |الفصل=Foreword |عنوان=Mathematical programming in statistics |مسار=https://archive.org/details/mathematicalprog0000arth |سلسلة=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |ناشر=Wiley |مكان=New York |سنة=1981 |صفحات=vii–viii |isbn=978-0-471-08073-2 |mr=607328 }}</ref> نظرًا لاستخدامها في التحسين، تتقاسم النظرية الرياضية للإحصاء الاهتمامات مع علوم القرارات الأخرى، مثل [[بحوث العمليات]]، و[[نظرية التحكم]]، و[[اقتصاد رياضي|الاقتصاد الرياضي]].<ref name="Whittle">{{Harvard citation text|Whittle|1994|pp=10–11, 14–18}}: {{استشهاد بكتاب |الأول=Peter |الأخير=Whittle |مؤلف-وصلة=Peter Whittle (mathematician) |الفصل=Almost home |محرر-وصلة=Frank Kelly (mathematician) |محرر-الأول=F.P. |محرر-الأخير=Kelly |سنة=1994 |عنوان=Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle |مكان=Chichester |ناشر=John Wiley |isbn=978-0-471-94829-2 |صفحات=1–28  |مسار=http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |طبعة=previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory upto 1993 (revised 2002)" |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20131219080017/http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |تاريخ أرشيف=December 19, 2013 |df=mdy-all | تاريخ الوصول =  أغسطس 2020  |حالة المسار=dead}}</ref>

==== الرياضيات الحسابية ====
{{مفصلة|رياضيات حسابية}}
تقترح [[رياضيات محوسبة|الرياضيات الحسابية]] وتدرس أساليب لحل المسائل الرياضية التي تكون عادةً أكبر من قدرة الإنسان العددية.<ref name="nsf">[[مؤسسة العلوم الوطنية]]، Division of Mathematical Science, [https://www.nsf.gov/funding/pgm_summ.jsp?pims_id=5390 Program description PD 06-888 Computational Mathematics], 2006. Retrieved April 2007. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200606095228/https://www.nsf.gov/funding/pgm_summ.jsp?pims_id=5390 |date=6 يونيو 2020}}</ref> يدرس [[تحليل عددي|التحليل العددي]] طرق المسائل في التحليل باستخدام [[تحليل دالي|التحليل الدالي]] و[[نظرية التقريب]]؛ يشمل التحليل العددي دراسة التقريب والتقدير على نطاق واسع مع اهتمام خاص بأخطاء التقريب. التحليل العددي، وعلى نطاق أوسع، [[حوسبة علمية|الحوسبة العلمية]] تدرس أيضًا موضوعات غير تحليلية في العلوم الرياضية، وخاصة المصفوفة الحسابية و[[نظرية البيان|نظرية المخططات]]. مجالات أخرى من اهتمامات الرياضيات الحسابية تشمل [[حساب رمزي|الحساب الرمزي]].
{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:0 auto" cellspacing="20"
|-
|[[ملف:Gravitation space source.png|96بك]] || [[ملف:BernoullisLawDerivationDiagram.svg|96بك]] || [[ملف:Composite trapezoidal rule illustration small.svg|96بك]] || [[ملف:Maximum boxed.png|96بك]] || [[ملف:Two red dice 01.svg|96بك]] || [[ملف:Oldfaithful3.png|96بك]] || [[ملف:Caesar3.svg|96بك]]
|-
|[[فيزياء رياضية]] || [[جريان الموائع]] || [[تحليل عددي]] || [[استمثال (رياضيات)|الاستمثال]] || [[نظرية الاحتمال]] || [[إحصاء]] || [[علم التعمية]]
|-
|[[ملف:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png|96بك]] || [[ملف:Arbitrary-gametree-solved.svg|96بك]] || [[ملف:Signal transduction pathways.svg|96بك]] || [[ملف:CH4-structure.svg|96بك]] || [[ملف:GDP PPP Per Capita IMF 2008.svg|96بك]] || [[ملف:Simple feedback control loop2.svg|96بك]]
|-
|[[رياضيات مالية]] || [[نظرية الألعاب]] || [[علم الأحياء الرياضي]] || [[كيمياء رياضية]]|| [[اقتصاد رياضي|الاقتصاد الرياضي]] || [[نظرية التحكم]]
|}

== جوائز رياضية ==
إن أكثر الجوائز شهرة في مجال الرياضيات هي [[ميدالية فيلدز]]،{{للهامش|11}}{{sfn|Riehm|2002|pp=778–82}} التي تأسست عام [[1936]] وتمنح كل أربع سنوات (باستثناء حوالي [[الحرب العالمية الثانية]]) لما يصل إلى أربعة أفراد. غالبًا ما تُعتبر [[ميدالية فيلدز]] (بجانب [[قائمة الحاصلين على جائزة أبيل|جائزة أبيل]]) معادلة ل[[جائزة نوبل]] في الرياضيات.

نالت [[جائزة وولف في الرياضيات]]، التي تأسست عام [[1978]]، تقديرًا للإنجاز مدى الحياة، وتم إنشاء جائزة دولية كبرى أخرى، وهي [[قائمة الحاصلين على جائزة أبيل|جائزة أبيل]]، عام [[2003]]. وتم تقديم [[ميدالية تشيرن]] عام [[2010]] تقديرًا للإنجازات الرياضية مدى الحياة. يتم منح هذه الجوائز تقديرًا لمجموعة عمل معينة، والتي قد تكون ابتكارية، أو توفر حلًّا لمسألة بارزة في مجال محدد.

في عام [[1900]] قام عالم الرياضيات الألماني [[ديفيد هيلبرت]] بتجميع قائمة شهيرة تضم 23 مسألة مفتوحة، تسمى «[[مسائل هيلبرت]]». حققت هذه القائمة شهرة كبيرة بين علماء الرياضيات، وتم الآن حل معظم الأسئلة. تم نشر قائمة جديدة من سبع مسائل مهمة، بعنوان «[[جائزة مسائل الألفية]]»، في عام [[2000]]. واحدة منها فقط، هي [[فرضية ريمان]]، تكررت أيضًا في [[مسائل هيلبرت]]. إن حل أي من مسائل الألفية يحمل مكافأة قدرها مليون دولار.<ref name="Jaffe_2000">Arthur M. Jaffe [http://www.ams.org/notices/200606/fea-jaffe.pdf"The Millennium Grand Challenge in Mathematics"], "[[إشعارات جمعية الرياضيات الأمريكية|Notices of the American Mathematical Society]]", June/July 2000, Vol. 53, Nr. 6, p. 652-660 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180516215047/http://www.ams.org/notices/200606/fea-jaffe.pdf |date=16 مايو 2018}}</ref>

== الاتحاد الدولي للرياضيات والاحتفالات ==
{{مفصلة|الاتحاد الدولي للرياضيات}}
'''الاتحاد الدولي للرياضيات''' (IMU) هو [[منظمة دولية]] غير حكومية مكرسة للتعاون الدولي في مجال الرياضيات في جميع أنحاء العالم. وهو عضو في [[المجلس الدولي للعلوم]] (ICSU) ويدعم [[المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات]]. أعضاؤه منظمات رياضيات وطنية من أكثر من 80 دولة.<ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://www.mathunion.org/membership/imu-members|عنوان=International Mathematical Union (IMU): sorted by names|الأول=| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190322225438/https://www.mathunion.org/membership/imu-members | تاريخ أرشيف = 22 مارس 2019 }}</ref> أما '''المؤتمر الدولي للرياضيات''' فيعد أكبر مؤتمر يعقد حول موضوع الرياضيات.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|مؤلف=Castelvecchi, Davide|عنوان=The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof|صحيفة=Nature|تاريخ=7 October 2015|المجلد=526|مسار=https://www.nature.com/news/the-biggest-mystery-in-mathematics-shinichi-mochizuki-and-the-impenetrable-proof-1.18509|doi=10.1038/526178a|صفحات=178–181|pmid=26450038| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191117075447/http://www.nature.com/news/the-biggest-mystery-in-mathematics-shinichi-mochizuki-and-the-impenetrable-proof-1.18509 | تاريخ أرشيف = 17 نوفمبر 2019 }}</ref><ref>[http://www.icm2006.org/press/dossier/#8 THE INTERNATIONAL MATHEMATICAL UNION AND THE ICM CONGRESSES.] www.icm2006.org. Accessed December 23, 2009. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170709105218/http://www.icm2006.org/press/dossier/ |date=09 يوليو 2017}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|مسار= https://www.worldcat.org/oclc/41497065|عنوان=Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world|الأخير=C.|الأول=Bruno, Leonard|سنة النشر الأصلية=1999|سنة=2003|ناشر=U X L|آخرون=Baker, Lawrence W.|isbn=0787638137|مكان=Detroit, Mich.|صفحات=56|oclc=41497065|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200513190412/https://www.worldcat.org/title/math-and-mathematicians-the-history-of-math-discoveries-around-the-world/oclc/41497065|تاريخ أرشيف=2020-03-11}}</ref> ينظم كل أربع سنوات من طرف [[الاتحاد الدولي للرياضيات]]. وأثناء هذا المؤتمر يتم توزيع جوائز [[ميدالية فيلدز]] و[[جائزة نيفانلينا]] و[[جائزة كارل فريدريش غاوس]] و[[ميدالية تشيرن]] و[[جائزة ليلافاتي]].

يتم الاحتفال في شهر [[مارس]] من كل سنة بداية من عام [[2007]] ب'''اليوم العالمي للرياضيات''' حيث تقام فيه العديد من المسابقات والجوائز.<ref>{{استشهاد ويب|مسار=http://community.guinnessworldrecords.com/_The-Largest-Online-Maths-Competition/blog/2335137/7691.html |تاريخ الوصول=22 مارس 2012 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20120307112042/http://community.guinnessworldrecords.com/_The-Largest-Online-Maths-Competition/blog/2335137/7691.html |تاريخ أرشيف=March 7, 2012 |عنوان=The Largest Online Maths Competition - Guinness World Records Blog post - Home of the Longest, Shortest, Fastest, Tallest facts and feats<!-- عنوان مولد بالبوت -->|عنوان أجنبي=en|حالة المسار=dead}}</ref><ref>{{استشهاد ويب |مسار=https://www.express.co.uk/life-style/top10facts/382049/Top-ten-facts-about-maths |عنوان=Top ten facts about maths |صحيفة=Express |تاريخ=March 6, 2013 |تاريخ الوصول=16 يناير 2014| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20130606122436/http://www.express.co.uk/fun/top10facts/382049/Top-ten-facts-about-maths | تاريخ أرشيف = 6 يونيو 2013 }}</ref> أيضًا يتم الاحتفال من كل سنة في [[14 مارس]] [[يوم ط|بيوم العدد pi]]{{فاصل}} (π) حيث يتم الاحتفال بهذا الثابت الرياضي وتحديدًا الساعة 1:59:26 من يوم [[14 مارس]] بسبب كون القيمة التقريبية للعد (π) هي 3.1415926.<ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://www.theguardian.com/science/2015/mar/13/pi-day-celebration-maths-fans-language-memory-contests|عنوان=Pi Day 2015: a sweet treat for maths fans|الأخير=Bellos|الأول=Alex|موقع=theguardian.com|تاريخ=March 14, 2015|تاريخ الوصول=14 مارس 2016| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180615004353/https://www.theguardian.com/science/2015/mar/13/pi-day-celebration-maths-fans-language-memory-contests | تاريخ أرشيف = 15 يونيو 2018 }}</ref><ref>[https://sverigesradio.se/sida/avsnitt/514543?programid=412 Program on Sveriges Radio - Swedish national radio company] Read 2015-03-14 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160902170612/http://sverigesradio.se/sida/avsnitt/514543?programid=412 |date=02 سبتمبر 2016}}</ref>

== انظر أيضًا ==
{{أعمدة متعددة}}
* [[قائمة الرموز الرياضية|الرموز الرياضية]]
* [[قائمة الرموز الرياضية حسب الموضوع|الرموز الرياضية حسب الموضوع]]
* [[مهارات ما قبل تعلم الرياضيات]]
* [[العلاقة بين الرياضيات والفيزياء]]
{{فاصل أعمدة متعددة}}
* [[تعليم الرياضيات]]
* [[مكافحة العنصرية في تدريس الرياضيات]]
* [[قلق رياضياتي|القلق الرياضياتي]]
* [[الاتحاد الدولي للرياضيات]]
{{فاصل أعمدة متعددة}}
* [[نظام عد|أنظمة العدّ]]
* [[فيزياء رياضية]]
* [[جائزة مسائل الألفية]]
* [[قائمة الحاصلين على جائزة أبيل|جائزة أبيل]]
{{نهاية أعمدة متعددة}}

;بعض من أشهر المعادلات الرياضية
{{أعمدة متعددة}}
* [[مبرهنة فيثاغورس|نظرية فيثاغورس]]
* [[لوغاريتم|اللوغاريتم]]
* [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]
* [[عدد تخيلي|العدد التخيلي (المركب)]]
{{فاصل أعمدة متعددة}}
* [[صيغة أويلر]]
* [[توزيع احتمالي طبيعي|التوزيع الطبيعي]]
* [[تحويل فورييه]]
* [[معادلات نافييه-ستوكس]]
{{فاصل أعمدة متعددة}}
* [[قانون الجذب العام لنيوتن|قانون الجاذبية]]
* [[معادلات ماكسويل]]
* [[نظرية النسبية|النسبية]]
* [[معادلة شرودنغر]]
{{نهاية أعمدة متعددة}}

== المصادر والمراجع ==
=== مصادر ===
<div dir=ltr>
* {{استشهاد بدورية محكمة |مسار= http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf |سنة=2001 |عنوان=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal |الأخير=Monastyrsky |الأول=Michael |ناشر=Canadian Mathematical Society |تاريخ الوصول=28 يوليو 2006 |صيغة=PDF |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20171106155056/http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf|تاريخ أرشيف=2017-11-06}}
* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Oakley |الأول=Barbara |عنوان=A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) |تاريخ=2014 |ناشر=Penguin Random House |مكان=New York |مسار= https://books.google.com/?id=Jv3YCwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=A+Mind+for+Numbers#v=onepage&q&f=false|isbn=978-0-399-16524-5 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200311104827/https://books.google.com/?id=Jv3YCwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=A+Mind+for+Numbers#v=onepage&q&f=false|تاريخ أرشيف=2020-03-11}}
</div>

=== هوامش ===
<div class="reflist4" style="height: 250px; overflow: auto; padding: 3px" >
{{هامش|1}}. علم الفضاء والعدد والكمية والترتيب، الذي تتضمن طرائقه التفكير المنطقي واستخدام الترميز الرمزي، والذي يتضمن الهندسة والحساب والجبر والتحليل.<ref name="OED">{{استشهاد ويب |مسار=https://oed.com:443/start;jsessionid=AC7D18A5368783BE463BE25FB4A21349?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F114974 |عنوان=mathematics, ''n.'' |ناشر=Oxford University Press |موقع=Oxford English Dictionary |سنة=2012 |تاريخ الوصول=16 يونيو 2012 |اقتباس=| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 | تاريخ أرشيف = 16 نوفمبر 2019 }}</ref>

{{هامش|2}}. الرياضيات... هي ببساطة دراسة الهياكل المجردة، أو الأنماط الرسمية للترابط.<ref name="Kneebone">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |ناشر=Dover |مؤلف=Kneebone, G.T. |سنة=1963 |صفحة=[https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 4] |isbn=978-0-486-41712-7 |اقتباس= |مسار=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |تاريخ الوصول=1 يونيو 2019 |تاريخ أرشيف=7 يناير 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170107141107/https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |حالة المسار=dead }}</ref>

{{هامش|3}}. التفاضل والتكامل هو دراسة التغيير، كيف تتغير الأشياء، ومدى سرعة تغيرها.<ref name="LaTorre">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |ناشر=Cengage Learning |مؤلف1-الأول=Donald R. |مؤلف1-الأخير=LaTorre |مؤلف2-الأول=John W. |مؤلف2-الأخير=Kenelly |مؤلف3-الأول=Sherry S. |مؤلف3-الأخير=Biggers |مؤلف4-الأول=Laurel R. |مؤلف4-الأخير=Carpenter |مؤلف5-الأول=Iris B. |مؤلف5-الأخير=Reed |مؤلف6-الأول=Cynthia R. |مؤلف6-الأخير=Harris |سنة=2011 |صفحة=[https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 2] |isbn=978-1-4390-4957-0 |اقتباس= |مسار=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |تاريخ الوصول=1 يونيو 2019 |تاريخ أرشيف=7 يناير 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170107135207/https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |حالة المسار=dead }}</ref>

{{هامش|4}}. الاقتباس هو إجابة أينشتاين على السؤال: «كيف يمكن أن تكون الرياضيات، كونها نتاج فكر بشري مستقل عن التجربة، مناسبة بشكل مثير للإعجاب لموضوعات الواقع؟» استلهم هذا السؤال من مقالة يوجين وينر «[[الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية]]».<ref>Einstein, p. 28.</ref>

{{هامش|5}}. من الضروري أولاً أن نسأل ما هو المقصود بـ«الرياضيات» بشكل عام. ناقش العلماء اللامعون هذه المسألة حتى أصبح وجههم أزرق، ومع ذلك لم يتم التوصل إلى إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات هي علم طبيعي، أو فرع من العلوم الإنسانية، أو شكلاً من أشكال الفن.<ref name="Runge">{{استشهاد بكتاب |عنوان=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry |ناشر=Springer |مؤلف1=Tobies, Renate |مؤلف1-وصلة=Renate Tobies |مؤلف2=Helmut Neunzert |lastauthoramp=yes |سنة=2012 |صفحة=[https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 9] |isbn=978-3-0348-0229-1 |اقتباس= |وصلة العنوان=Iris Runge |مسار=https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 |تاريخ الوصول=7 يونيو 2019 |تاريخ أرشيف=7 يناير 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170107190909/https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 |حالة المسار=dead }}</ref>

{{هامش|6}}. «غالبًا ما يكون حل المشكلات المركزة في الرياضيات والعلوم أكثر جهدًا من التفكير المركّز الذي يشمل اللغة والناس. قد يكون هذا بسبب عدم تطور البشر على مدى آلاف السنين للتلاعب بالأفكار الرياضية، والتي غالبًا ما تكون مشفرة بشكل تجريدي أكثر من تلك الموجودة في اللغة التقليدية.»<ref name="مولد تلقائيا6">Oakley 2014, p. 16.</ref>

{{هامش|7}}. "ماذا أعني بالتجريد؟ يمكنك الإشارة إلى "بقرة" حية حقيقية تمضغ طعامها في مرعى وتساويها بالحروف
"ب – ق – ر – ة" على الصفحة. ولكن لا يمكنك ذلك إلا بالاستعانة ب"علامة الجمع" الحقيقية التي صصمم الرمز "+" لها، الفكرة الكامنة وراء علامة الجمع هي أكثر "تجريدا"."<ref name="مولد تلقائيا6" />

{{هامش|8}}. «من خلال» التشفير«، أعني أن رمزًا واحدًا يمكن أن يمثل عددًا من العمليات أو الأفكار المختلفة، تمامًا كما ترمز علامة الضرب إلى الإضافة المتكررة».<ref name="مولد تلقائيا6" />

{{هامش|9}}. «يشتكي البعض من أنه لا يمكن التحقق من برنامج الحاسوب بشكل صحيح»، (في إشارة إلى إثبات هاكين - أبل لنظرية الألوان الأربعة).<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{ردمك|0-7167-1953-3}}.p. 4{{فاصل}}</ref>

{{هامش|10}}. من بين الفروع العديدة لنظرية مجموعات الرياضيات الحديثة، تحتل نظرية المجموعات مكانًا فريدًا: مع استثناءات قليلة نادرة، يمكن اعتبار الكيانات التي يتم دراستها وتحليلها في الرياضيات على أنها مجموعات معينة أو فئات معينة من الكائنات.<ref>Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, {{ردمك|0-486-61630-4}}. p. 1,</ref>

{{هامش|11}}. تعتبر ميدالية فيلدز الآن بلا منازع أفضل جائزة معروفة وأكثرها تأثيرًا في الرياضيات.{{sfn|Monastyrsky|2001|p=1}}

{{هامش|12}}. انظر، على سبيل المثال، بيان [[بيرتراند راسل]] «الرياضيات، إذا نظرنا إليها بشكل صحيح، لا تمتلك الحقيقة فحسب، بل الجمال الأسمى...» في كتابه [[تاريخ الفلسفة الغربية (كتاب)|تاريخ الفلسفة الغربية]].
</div>

=== مراجع ===
{{مراجع|محاذاة=نعم}}

== وصلات خارجية ==
{{روابط شقيقة}}
* [http://freebookcentre.net/SpecialCat/Free-Mathematics-Books-Download.html كتب رياضيات مجانية] مجموعة كتب رياضية مجانية. {{أيقونة إنجليزية}}
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page موسوعة الرياضيات] موسوعة على الإنترنت من [https://www.springer.com/de سبرنجر]، عمل مرجعي للمرحلة ما بعد الجامعية لما يزيد عن 8,000 إدخال، تشرح ما يقرب من 50,000 مفهوم رياضي. {{أيقونة إنجليزية}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/hmat.html موقع هايبرماث]، التابع ل[[جامعة ولاية جورجيا]]. {{أيقونة إنجليزية}}
* [https://web.archive.org/web/20191223213934/http://www.freescience.info/mathematics.php FreeScience Library] قسم الرياضيات من FreeScience library. {{أيقونة إنجليزية}}
{{فروع الرياضيات}}
{{رياضيات}}
{{الرياضيات الصناعية والتطبيقية}}
{{فضاء رياضي}}
{{تغير رياضي}}
{{بنية رياضية}}
{{ضبط استنادي}}
{{مصادر طبية}}
{{معرفات الأصنوفة}}
{{شريط بوابات|رياضيات|علوم|منطق}}
{{شريط محتوى متميز|جيدة|النسخة=38702828|تاريخ=22 سبتمبر 2019}}

[[تصنيف:رياضيات| ]]
[[تصنيف:علوم شكلية]]
[[تصنيف:مصطلحات رياضياتية]]